Fractales para el colegio

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE.
FACULTAD DE CIENCIA.
DEPTO. DE MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN.
LIC. EN EDUC. MATEMÁTICA Y
COMPUTACIÓN.

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN:
“FRACTALES Y OTROS ESTUDIOS PARA
LA UNIDAD “PROCESOS INFINITOS””

Nombre

:

Humberto Zúñiga Muñoz

Profesora

:

Celsa Rojas.

Asignatura

:

Metodología de la Enseñanza I.

Fecha

:

Miércoles 06 de agostode 2008

Carrera

:

Lic. En Educ. Matemática y Computación.

Código

:

4500

ÍNDICE
Introducción

3

Acerca del contexto histórico y algo más

4

Fractales en la naturaleza

6

Algoritmos

7

Construcciones

8

Fractales y Software

11

Fibonacci y otras relaciones

17

Conclusiones y observaciones acerca de la factibilidad de las actividades

23Bibliografía

24

2

Introducción.

El presente trabajo pretende ser un aporte a la unidad “Procesos Infinitos” de Cuarto
año medio, formación diferenciada, orientado hacia el estudio de los fractales. Aquí se
entrega un material compuesto por notas históricas acerca de los fractales, su presencia en
la naturaleza, algoritmos recursivos o iterativos como expresión matemática y comoconjunto de pasos a ejecutar en cada repetidamente, ejemplos de estas expresiones que
generan sucesiones interesantes, relaciones matemáticas presentes entre los tópicos
señalados como entre los fractales y el número dorado  , generación de fractales a través
de programas matemáticos especializados, entre otras cosas.
El trabajo presenta además, actividades relacionadas con los tópicospropuestos
donde los alumnos tendrán que dibujar, construir, analizar, conjeturar y concluir. Las
actividades siempre estarán resaltadas en negrita en el trabajo, para su fácil ubicación.
Se señalarán también las limitaciones que puedan presentar las aplicaciones de este
trabajo en un curso cualquiera y una posible solución cuando la haya.
Es interesante señalar que parte importante del materialbibliográfico utilizado es de
origen nacional, tanto sitios web como documentos de autoría chilena.

3

Acerca del contexto histórico de los Fractales. Una explicación sencilla de su procedencia.
¿De dónde vienen los fractales? Ésta es un pregunta interesante, quizás sería más
lógico preguntar primero ¿Qué son los fractales?, pero en esta ocasión es más sencillo
responder la primera. Si, puescomo ha ocurrido en muchos casos en la historia de las
ciencias, una idea surge antes que un significado o una definición.
Hace no muchos años, en la década de 1970, el científico de origen polaco Benoit
Mandelbrot publicó un artículo llamado ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? En este
artículo planteaba la idea de que si medimos la longitud del contorno de Gran Bretaña, es
decir, lalongitud de su costa, ésta dependerá de la unidad de medida utilizada. Mandelbrot
sospechaba que mientras más grande es la unidad de medida (por ejemplo kilómetros), más
nos alejamos de la real medida de la longitud de la costa. Por esto, si utilizamos una unidad
de medida más pequeña (por ejemplo metros), la diferencia entre la estimación de la
medida y el verdadero valor de ella debería ser máspequeña que en el caso anterior. Pero
¿Qué ocurre si la unidad de medida utilizada es más pequeña aún? ¿Obtendremos una
longitud aún más cercana a le verdadera? Estas preguntas se hizo Mandelbrot al principio
de su investigación, y comprobó empíricamente, es decir, “en terreno”, que estaba en lo
cierto. Las siguientes imágenes grafican la idea:

4

Como podemos observar Mandelbrot teníarazón, mientras más pequeña es la unidad de
medida utilizada mejor se adapta al contorno de Gran Bretaña.
Pero para Mandelbrot la historia no termina aquí. Este estudio lo utilizó para lanzar
una idea más profunda.

Primera actividad: Para esto cada alumno tendrá una copia del mapa de Inglaterra.
 Con sólo tu lápiz y tu mapa.
 Utilizando figuras geométricas planas (como máximo 15...