Fractales Y Biologia

Tema 12 FRACTALES Y BIOLOG´ ıA

12.1.

Introducci´n o

Unos de los cient´ ıficos actuales m´s importantes en el campo de los fractales, el a profesor Michael F. Barnsley, public´ en 1993 el libro Fractals everywhere, [8], el o cual se ha convertido en la referencia b´sica de todos aquellos que se ocupan de esta a disciplina. En la primera p´gina, dentro del cap´ a ıtulo de introducci´n,puede leerse: o Fractal geometry will make you everything differently. There is danger in reading further. You risk the loss of your childhood vision of clouds, forests, galaxies, leaves, feathers, flowers, rocks, mountains, torrents of water, carpets, bricks, and much else besides. Never again will your interpretation of these things be quite the same. Y en efecto, una vez conocidas las nocionesb´sicas de esta teor´ ya nunca m´s se a ıa, a vuelve a mirar a la naturaleza y al mundo que nos rodea con los mismos ojos. La geometr´ fractal como tal nace en 1975, pero muchas de sus aplicaciones y conıa ceptos eran conocidos mucho antes en un contexto muy diferente. En 1875 tiene lugar una crisis importante de los fundamentos de las Matem´ticas. Al mismo tiema po, un matem´tico, Reymond, estudi´intensamente la funci´n de Weierstrass, una a o o curva continua que tiene la particularidad de que no posee derivada en cualquiera de sus puntos,
∞

f (x) =
i=1

λ(s−2)i sen (λi x) ,

1 < s < 2,

λ < 1.

Funciones de este tipo, con un gran n´mero de irregularidades, ya eran conocidas u en el siglo XVII, antes del descubrimiento del c´lculo infinitesimal por Newton y a

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Leibnitz, pero se pensaba que eran muy escasas y adem´s poco interesantes desde el a punto de vista pr´ctico. Los primeros en darse cuenta que estas funciones no eran a la excepci´n sino la norma fueron Cantor y Peano, pero fue Poincar´ el primero en o e hacer un estudio sistem´tico de todos estos hechos y elaborar una teor´ que hoy a ıa en d´ se la conoce con elnombre de Teor´ del Caos. El final de la crisis de fundaıa ıa mentos se produce en 1925, y durante su desarrollo aparece un grupo importante de excelentes matem´ticos: Cantor, Peano, Lebesgue, Hausdorff, Besicovitch, Bolzano, a Koch, Sierpinski. Sabemos que la Geometr+a de Euclides es la herramienta adecuada para estudiar las estructuras regulares y la din´mica de Newton. Como hemos indicado, la necesiadad de unas “nuevas matem´ticas” se puso de manifiesto al descubrirse estructuras a algebraicas, como son la curva de Cantor y la curva de Peano, con un gran n´mero u de irregularidades y que adem´s eran capaces de “llenar” la porci´n del plano donde a o se encuentran. En este caso, observemos lo siguiente: al ser una curva tienen dimensi´n 1, pero al rellenar un cuadrado su dimensi´n deber´ ser2, por tanto, ¿cu´l es o o ıa a la dimensi´n de estos objetos? Estos nuevos elementos no estaban contemplados en o la matem´tica tradicional y en un principio fueron considerados como “monstruos a matem´ticos”. a A continuaci´n destacaremos algunos momentos relevantes relacionados con los obo jetos que presentan un elevado n´mero de irregularidades, con el objetivo de poner u de manifiesto la graninquietud existente en relaci´n a las funciones continuas no o diferenciables. En el siglo XVII Richard Bentley llam´ la atenci´n sobre la relaci´n existente o o o entre los objetos regulares y la representaci´n de la naturaleza: “..no hemos o de creer que las orillas del mar sean realmente deformes por no tener la forma de un baluarte regular; que las monta˜as no son exactamente como conos o npir´mides, ni las estrellas est´n situadas desma˜adamente por no estar a una a a n distancia uniforme..” En 1893 Charles Hermite, en una carta dirigida al gran matem´tico T. Stieljes, a comentaba: “.. abandono con espanto y horror esta lamentable plaga de las funciones sin derivada...”. El premio nobel en 1906 por el descubrimiento del movimiento browniano de las part´ ıculas Jean Perrin, realiz´...