Fractales

NÚMEROS FRACTALES

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:[]
* Es demasiado irregular para serdescrito en términos geométricos tradicionales.
* Posee detalle a cualquier escala de observación.
* Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).
* Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
* Existe similitud entre detalles a gran escala y a pequeña escala.
* Su dimensión es fraccionaria, es decir, no es entera.
Otra de las características de los fractales esla autosimilitud. Cuando se cambia de escala en la representación de algún fractal la imagen que resulta es de gran similitud a la imagen de origen. Por tanto, se puede decir que los fractales son autorecurrentes. Ejemplos de fractales con estas características son el Copo de nieve de Koch o los Conjuntos de Julia.
Una de las preguntas más complejas sobre los fractales es cuál es su tamaño. Sise toma como ejemplo el copo de nieve de Koch, es posible afirmar que su dimensión no es exacta y que, por tanto, no se puede usar la geometría euclidiana para calcularla.
EJEMPLOS CLÁSICOS DE LOS FRACTALES
Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, comoejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.

Sucesivos pasos de la construcción de la curva de Koch
Algunos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal.Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch.
Construcción de la alfombra de Sierpinski: |
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Paso 1 (semilla) | Paso 2 | Paso 3 | Paso 4 | Paso 5 | |
Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:
* Autosimilitud exacta: este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que elfractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

* Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos.
* Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: seexige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.
DEFINICIÓN POR ALGORITMOS RECURSIVOS
Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:
* Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones:el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o la Esponja de Menger, son algunos ejemplos.

Sistema de funciones iteradas

Compacto inicial y 6 iteraciones de un IFS formado por 3 aplicaciones contractivas. En la primera iteración el recuadro inicial se hace corresponder con la unión de losrecuadros A, B y C.
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En matemáticas, se denomina sistema de funciones iteradas o IFS (acrónimo de la traducción inglesa iterated function system) a un método para la construcción de fractales a partir de la información suministrada por un conjunto finito {f1, ..., fk } de aplicaciones de un espacio métrico completo.
DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE FUNCIONES ITERADAS
* Llamamos sistema de...