Fractales

Fractales
Métodos numéricos, Diciembre de 2008.

Abstract
Los fractales son fenómenos presentes tanto en la naturaleza como en las matemáticas. Sin embargo, la difusión de su existencia, características y aplicaciones es precaria. Es por ello que en este trabajo se presenta en términos, más o menos generales, lo que es un fractal, su historia y características así como la construcción dealgunos de ellos. Esperando con ello, dar cierto conocimiento de éstos llamados anteriormente “conjuntos monstruosos”.

1. Un poco de historia.
A comienzos del siglo pasado, se empezó a explorar la estructura geométrica de conjuntos de puntos de la recta que, aunque insignificantes en cierto sentido,  poseían sorprendentes propiedades geométricas, aritméticas y analíticas. Estos conjuntos,venían siendo ignorados debido a que eran considerados “informes, amorfos, monstruosos” e incluso “patológicos”[1]; pero a medida que se fueron encontrando procedimientos eficaces para distinguirlos, medirlos y estudiarlos, los matemáticos se fueron percatando de sus semejanzas con procesos y formas de la naturaleza misma y de otros objetos de diferentes campos de la ciencia.
 
En 1919,Hausdorff construyó la herramienta fundamental para la medición de estos conjuntos peculiares mediante la introducción de lo que hoy se llaman medidas y dimensión de Hausdorff. En los años 20, Besicovitch trabajó con las propiedades geométricas de los conjuntos con dimensión de Hausdorff entera creando así la teoría geométrica de la medida. Sin embargo, es hasta los años 70 cuando BenoîtMandelbrot, se interesó por la posibilidad de que una regla o cierto tipo de orden determinara el ruido que se proyectaba en las comunicaciones entre ordenadores, lo que lo llevó a encontrarse con estos conjuntos “monstruosos” que bautizó con el nombre de fractales. Mandelbrot publicó en 1977 un libro titulado “The Fractal Geometry of Nature” con gran cantidad de aplicaciones de estos conjuntos a diferentesramas de las ciencias aplicadas. Este libro tuvo gran éxito y difusión entre el mundo científico y desde entonces se conoce a esta rama de la matemática con el nombre de Geometría Fractal.[6]

Figura 1 Algunos fractales en la naturaleza. Tomada de: Wikipedia [3]

2. ¿Qué es un fractal?

La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, osimplemente “roto” o “quebrado”. Un fractal viene a ser el producto que se origina a través de la iteración infinita de un proceso geométrico especificado. Este proceso geométrico elemental (simple), determina perfectamente la estructura final, que muy frecuentemente, debido a la repetición infinita que se ha efectuado, tiene una complicación aparente extraordinaria.[1]

La geometría fractalviene a constituir un puente entre la geometría clásica y el análisis moderno, utilizando como éste, de modo muy fundamental, los procesos infinitos de construcción, pero ampliando los objetos a los que se aplica, que son procesos de naturaleza más global y geométrica. Lo anterior, nos provee tanto una descripción como un modelo matemático para muchas de las complejas formas encontradas en lanaturaleza. Formas tales como montañas, nubes o líneas costeras no son fáciles de describir con la tradicional geometría euclídea. Esta auto-semejanza estadística es la cualidad fundamental de los fractales que aparecen en la naturaleza.[6]

3. Dimensión fractal.

Ahora que conocemos parte del contexto en el que se encuentran los fractales seguiremos con su definición formal, la cualdice:

Un fractal es por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.[1]

Dimensión topológica y Dimensión fractal.
Desde un cierto punto de vista (que llamaremos topológico) una circunferencia y un segmento de recta son la misma curva y encierran el mismo tipo de superficie puesto que es posible transformar una en la...