fractales

APROVECHANDO LOS FRACTALES EN LA ENSEÑANZA
CONTENIDOS: FUNCIÓN EXPONENCIAL – RELACIÓN PERÍMETRO
ÁREA – CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS Y OTROS.
AUTORAS: PATRICIA CUELLO-ADRIANA RABINO
En un curso introductorio al I.F.D.C. de Bariloche, dimos un problema clásico. Se
trataba de calcular el área y el perímetro del Lago Nahuel Huapi con unidades no
convencionales. Les dábamos a los alumnoshilos, porotos, arroz o lo que quisieran
(algunos hacían una cuadrícula) y un mapa del lago con la correspondiente escala.
En la planificación de esta tarea, un colega nos dijo que esto “era imposible de hacer de
esta manera porque se trataba de un fractal”. El profesor nos dio algunas explicaciones
del tema con lo cual nos pareció que el asunto era difícil. Decidimos seguir adelante con
elplan y, sin desprestigiar esta interesante explicación, convenimos en que lo que se les
pedía a los alumnos era un cálculo aproximado.
Si bien el estudio de los fractales es una teoría muy compleja, se pueden aprovechar
algunos conceptos de una manera sencilla para la enseñanza de algunos contenidos.
En principio presentaremos una definición extraída de Wikipedia:
Un fractal es un objetosemigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o
irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático
Benoît Mandelbrot 1en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o
fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
Los matemáticos le adjudican a los fractales propiedades bastante complicadas. Ellos
dicen que a un objeto geométricofractal se le atribuyen las siguientes características:
•
•
•
•
•

Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos
tradicionales.
Posee detalle a cualquier escala de observación.
Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).
Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su
dimensión topológica.
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.Pero para nuestros fines vamos a limitarnos a un concepto más intuitivo. Vamos a
pensar en objetos irregulares que son autosimilares cuando se observan a diferentes
escalas. Esto quiere decir que una pequeña parte del objeto luce como el objeto entero.
Por ejemplo la costa de un mar mirado desde un satélite presenta un perfil irregular, y a
medida que nos acercamos sigue siendo similar. Sinos acercamos mucho terminaremos
viendo piedritas o granitos de arena que siguen siendo irregulares pero nos recuerdan la
costa inicial. Lo mismo ocurre con una nube, con los pulmones, con un copo de nieve,
con el sistema venoso, con una coliflor o con un brócoli.

1

Mandelbrot B., nacido en Varsovia, Polonia el 20 de noviembre de 1924, acaba de morir en Cambridge,
EE. UU, el 14 de octubrede 2010

Por otro lado no alcanza con una sola de aquellas características para definir un fractal.
Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto
autosimilar carece del resto de características exigidas.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la
geometría fractal. Esta representación es aproximada, pues laspropiedades atribuidas a
los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

El estudio de los fractales ha permitido interpretar muchos fenómenos de la naturaleza
estudiados en otras disciplinas (formas de las nubes, distribución de galaxias, formas
de las costas oceánicas, dinámicas de las burbujas, estructuras, ramas de los árboles,
etc.) , tantocomo han enriquecido la matemática misma (curvas de Peano,
circunferencia de Apolonio, función de Cantor, etc.), siendo la computadora un
instrumento facilitador prioritario para el conocimiento de esta rama del quehacer
matemático.
¿Se puede imaginar ahora que una planta de coliflor o de brócoli posee las
propiedades de un fractal? Una condición importante de ellos es que cualquier parte...