Fractales

Introducci´n a la Geometr´ Fractal:
o
ıa
V. Los fractales de Julia y Mandelbrot

Carlos Munuera
Departamento de Matem´tica Aplicada
a
cmunuera@modulor.arq.uva.es

Universidad de Valladolid
CMG

Introducci´n a la Geometr´ Fractal V
o
ıa

1

N´meros Complejos
u
Los fractales son ’habitualmente’ figuras planas, es decir, subconjuntos de R2. Sin
embargo, por m´tivos t´cnicos deconstrucci´n, que iremos viendo m´s adelante, se
o
e
o
a
representan generalmente como subconjuntos del plano complejo C.
Recordemos que un n´mero complejo es un n´mero de la forma
u
u
z = a + bi
con a, b ∈ R. Por lo tanto se representa como un punto del plano de la manera obvia

6

b

q

t

q

a
CMG

z = a + bi ≡ (a, b)

-

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o
ıa2

El cuerpo complejo
Puede operarse con los n´meros complejos (suma, resta, multiplicaci´n y divisi´n) del
u
o
o
modo bien conocido:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Adem´s, las funciones matem´ticas reales pueden extenderse a n´meros complejos:
a
a
u
ez = ea+bi = ea(cos(b) + i sin(b))
sin(z) =
cos(z) =

CMG

eiz −e−iz
2i
eiz + e−iz
2

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o
ıa

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Polinomios complejos
Un polinomio complejo es una expresi´n del tipo
o
f (z) = a0 + a1z + · · · + anz n
con a0, a1, · · · , an ∈ C.
Como se sabe, los n´meros complejos se introducen para poder calcular raices de
u
polinomios, que no existen en los n´meros reales. Por ejemplo, el polinomio
√ u
u
X 2 + 1 = 0 tienecomo ra´ a −1. De hecho, estos n´meros posee una propiedad
ız
importante, conocida como ’Teorema Fundamental del Algebra’:

Todo polinomio de grado n con coeficientes complejos, posee n raices complejas

CMG

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4

Iteraci´n compleja
o
Dados dos n´meros complejos z0, c, podemos considerar la sucesi´n (z0, z1, z2, · · · )
u
o
obtenida por laregla de recurrencia
2
z1 = z0 + c
2
z2 = z1 + c
2
z3 = z2 + c
.
.
2
o
y en general zn = zn−1 + c. Como a cualquier otra sucesi´n, puede sucederle que

(a) sea convergente;
(b) sea diveregente a ∞;
(c) sea oscilante; o
(d) que no tenga un comportamiento discernible.
CMG

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o
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5

Conjuntos de Julia

Fijemos un n´mero complejo c.Para cada punto del plano z0, consideremos la sucesi´n
u
o
2
S(z0) definida, como anteriormente, por la regla de recurrencia zn = zn−1 + c.
Definimos el conjunto de Julia relleno asociado a c, como
Kc = {puntos z ∈ C tales que la sucesi´n S(z) no diverege a ∞}.
o

Por ejemplo,veamos los conjuntos de Julia rellenos asociados a algunos valores de c.
Concretamente a los valores de c: −0,5, −0,5+ 0,3i, −1 + 0,16i, −0,12 +
0,76i, i, −0,3 + 0,7i, −0,77 + 0,17i, 0,44 + 0,29i, 0,51 − 0,58i. Los conjuntos
correspondientes se muestran en la siguiente transpoarencia. Es interesante observar
como el conjunto de Julia puede cambiar completamente ante un cambio
arbitrariamente peque¯o de c.
n
CMG

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o
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−0,5
−0,12 + 0,76i
−0,77 + 0,17i
CMG

6−0,5 + 0,3i
i
0,44 + 0,29i

−1 + 0,16i
−0,3 + 0,7i
0,51 − 0,58i

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o
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Los Conjuntos de Julia ’estrictos’, Jc, son las fronteras de los conjuntos de Julia
rellenos Kc.

CMG

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o
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Unas aclaraciones
En la definici´n anterior, hablamos de estudiar el conjunto S(z) para todos los n´meros
ou
complejos z. Evidentemente esto es posible desde el punto de vista te´rico matem´tico,
o
a
pero imposible (e inutil) de llevar a la pr´ctica.
a
En primer lulgar, s´lo realizaremos el c´lculo para los puntos situados en una cierta
o
a
regi´n del plano. Esta regi´n ser´ la que visualizamos en la pantalla del ordenador.
o
o
a
A´n en esa regi´n, hay infinitos puntos. Dado que la...