Fractales

Una descripci´n de la geometr´ fractal o ıa
Sonia Sabogal
Escuela de Matem´ticas a Universidad Industrial de Santander ssabogal@uis.edu.co

Gilberto Arenas
Escuela de Matem´ticas a Universidad Industrial de Santander garenasd@uis.edu.co

1.

Introducci´n o

Los fractales han venido surgiendo dentro del desarrollo de la geometr´ aproximadamente ıa, durante los ultimos treinta a˜ os comouna herramienta que adem´s de ser muy atractiva ´ n a por la belleza (a veces ex´tica) de las figuras que se generan, tiene buenas perspectivas o para modelar objetos y fen´menos de la naturaleza que siempre se hab´ considerado o ıan fuera del alcance de la matem´tica. La prehistoria de los fractales se remonta a finales del a siglo diecinueve y principios del siglo pasado, con el descubrimiento defen´menos como o el movimiento browniano y de conjunto “extra˜ os” o situaciones que en esa ´poca fueron n e consideradas “patol´gicas”, tales como: las funciones continuas y nunca diferenciao bles (1.872), el conjunto de Cantor (1.883), las curvas de Peano que llenan el espacio (1.890), la curva de Von Koch (1.904), el tri´ngulo de Sierpi´ski (1.916), a n entre otros. Veamos una construcci´ngeom´trica sencilla de tres de estos conjuntos, que est´n entre o e a los m´s “famosos” y representativos de la geometr´ fractal: el conjunto de Cantor, la a ıa curva de Koch y la carpeta de Sierpi´ ski. n El conjunto de Cantor: El conjunto de Cantor es un ejemplo cl´sico de conjunto no a numerable con el mismo cardinal del continuo, pero a pesar de ello tiene longitud nula. Se construye como sigue:Partimos del intervalo unidad C = [0, 1] ⊂ R. Dividimos dicho intervalo en tres partes iguales y consideramos los dos intervalos cerrados de los extremos (Figura 1) C11 = [0, 1/3] , C12 = [2/3, 1]

cada uno de ellos de longitud 1/3. Cada uno de estos intervalos se divide a su vez en tres intervalos iguales. Descartando de los intervalos centrales que resultan de tal divisi´n y considerando loscuatro intervalos o cerrados C21 = [0, 1/9] , C22 = [2/9, 1/3] , C23 = [2/3, 7/9] , C24 = [8/9, 1]

cada uno de ellos de longitud 1/9. 1

C1 C2

. .

C3

Figura 1: Descripci´n de la construcci´n del conjunto de Cantor. o o

Si continuamos indefinidamente de esta forma, en la etapa j-´sima habremos obtenido 2j e j intervalos cerrados Ijk , k = 1, 2, . . . , 2 cada uno de ellos delongitud 3−j . Para cada j = 1, 2, . . . sea
2j

Cj =
k=1

Cjk .

Observamos que los conjuntos Cj , j = 1, 2, . . . forman una sucesi´n decreciente, eso es o Cj+1 ⊂ Cj , El conjunto l´ ımite de este proceso, es decir:
∞

∀j.

C=
k=1

Cj

se denomina conjunto ternario de Cantor. La curva de Koch: La curva de Koch se forma partiendo de un segmento unidad K0 (ver Figura 2), el cual esdividido en tres partes iguales. La parte central se sustituye por dos segmentos del mismo tama˜ o que el eliminado, que junto con dicha parte anulada, formar´ n ıa un tri´ngulo equil´tero, se obtiene as´ la poligonal K1 (ver Figura 2). A continuaci´n se a a ı o repite el proceso por cada segmento formado y se obtiene entonces una sucesi´n (Kj )j∈N . o Intuitivamente se quiere encontrar una “figurafinal”, alg´n resultado despu´s de realizar u e el proceso “infinitas veces”. El l´ ımite de esta sucesi´n denotado K se llama curva de Koch. o

...
Figura 2: Descripci´n de la construcci´n de la curva de Koch. o o La carpeta de Sierpi´ ki: La carpeta de Sierpi´ ski se forma partiendo de un cuadrado, n n se divide en nueve cuadrados iguales y se descarta el cuadrado central, despu´s a cada e 2

...Figura 3: Carpeta de Sierpi´ ski. n uno de los ocho cuadrados que quedan se le aplica el mismo proceso, y as´ sucesivamente ı (ver Figura 3). En el momento de aparecer este tipo de conjuntos y fen´menos, muchos de ellos fueron o subestimados y sencillamente “dejados a un lado”. En 1.919 Hausdorff proporciona la herramienta fundamental para medir estos conjuntos tan particulares, al introducir...