Fractales
Páginas: 11 (2574 palabras)
Publicado: 28 de octubre de 2011
LOS FRACTALES. NUEVAS DIMENSIONALIDADES
EN LAS últimas dos décadas se ha desarrollado una línea de investigación, iniciada por Benoit Mandelbrot, cuyo tema son los objetos llamados fractales.
Se puede construir un tipo de figuras fractales siguiendo el siguiente ejemplo. Tomemos un triángulo equilátero cualquiera (figura 7(a)) al que se denominará iniciador. Divídasecada lado en tres partes iguales. En las partes intermedias de cada lado añádanse dos lados de un triángulo equilátero cuyo lado sea igual a la tercera parte del lado original. Se obtiene así la figura 7(b). Enseguida, divídase otra vez cada uno de los lados de la figura así formada en tres partes iguales, y en cada parte intermedia añádanse dos lados de un triángulo equilátero cuyo lado sea iguala la longitud resultante. Se encuentra así la forma mostrada en la figura 7(c). Si se continúa indefinidamente este procedimiento se encontrará una forma parecida a la mostrada en la figura 7(d). Esta figura es un fractal y, como veremos acontinuación, su perímetro tiene longitud infinita.
Analicemos con un poco de detalle el perímetro de estas figuras. Supongamos que el lado deltriángulo iniciador de la figura 7(a) sea igual a 1 (en cualquier unidad). El perímetro del triángulo original, que es igual a la suma de las longitudes de sus lados, es entonces igual a 8.
Por construcción, cada línea recta de la figura 7(b) tiene longitud (1/3). Por tanto, dado que hay 12 líneas rectas de este tamaño, el perímetro de la figura 7(b) es 12 x (1/3) = 4. El lector se darácuenta de que este nuevo perímetro (4) es mayor que el original (3).
Veamos ahora la figura 7(c). Cada línea recta de esta figura tiene (1/9) de longitud. En vista de que hay 48 de estas líneas, su perímetro es 48 x (1/9) = 5.333, mayor que los perímetros de las figuras 7(a) y 7(b).
Vemos entonces que la sucesión de valores de los perímetros es: 3, 4, 5.333,... Estasucesión va creciendo. La causa de que crezca es clara, ya que de un paso al otro el número de líneas rectas aumenta más rápidamente de lo que disminuye la longitud de cada línea recta. De hecho, en cada paso de la construcción el número de líneas se multiplica por el factor 4, mientras que la longitud de cada línea disminuye 3 veces. Por lo tanto, el perímetro se multiplica, de un paso al otro, porel factor 4 x (1/3) = 1.333, que es un número mayor que 1. Si el número de pasos es infinito, el perímetro de la figura así formada también resulta ser infinito.
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Figura 7. Pasos que siguen para construir el fractal llamado curva de Koch.
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Figura 7. Pasos que siguen para construir el fractal llamado curvade Koch (continuación).
La curva de la figura 7(d) se llama curva de Koch.
Nos debemos dar cuenta de que si se comparan las figuras que se forman en dos construcciones sucesivas, se verá que ambas tienen la misma estructura. Se recordará del capítulo III que lo mismo ocurre con la bahía cuando se cambia la escala.
Un objeto que presenta la misma estructuraal cambiársele indefinidamente la escala de observación recibe el nombre de fractal. Por lo tanto, la curva de Koch y la bahía son fractales.
Mandelbrot asegura que en la naturaleza existen muchos fenómenos de carácter fractal, de hecho, muchos más de los que podemos imaginar. Mencionaremos en forma breve algunos.
La trayectoria que sigue una partícula que realizamovimiento browniano, descrita en el capítulo IV es un fractal. En efecto, al pasar de una escala a otra, como por ejemplo, cuando se pasa de la figura 5 a la 6, las estructuras son similares.
También los paisajes naturales presentan características de los fractales. Así, la forma de las cadenas montañosas (figura 8) da lugar a que si uno intentara medir su superficie encontraría valores...
EN LAS últimas dos décadas se ha desarrollado una línea de investigación, iniciada por Benoit Mandelbrot, cuyo tema son los objetos llamados fractales.
Se puede construir un tipo de figuras fractales siguiendo el siguiente ejemplo. Tomemos un triángulo equilátero cualquiera (figura 7(a)) al que se denominará iniciador. Divídasecada lado en tres partes iguales. En las partes intermedias de cada lado añádanse dos lados de un triángulo equilátero cuyo lado sea igual a la tercera parte del lado original. Se obtiene así la figura 7(b). Enseguida, divídase otra vez cada uno de los lados de la figura así formada en tres partes iguales, y en cada parte intermedia añádanse dos lados de un triángulo equilátero cuyo lado sea iguala la longitud resultante. Se encuentra así la forma mostrada en la figura 7(c). Si se continúa indefinidamente este procedimiento se encontrará una forma parecida a la mostrada en la figura 7(d). Esta figura es un fractal y, como veremos acontinuación, su perímetro tiene longitud infinita.
Analicemos con un poco de detalle el perímetro de estas figuras. Supongamos que el lado deltriángulo iniciador de la figura 7(a) sea igual a 1 (en cualquier unidad). El perímetro del triángulo original, que es igual a la suma de las longitudes de sus lados, es entonces igual a 8.
Por construcción, cada línea recta de la figura 7(b) tiene longitud (1/3). Por tanto, dado que hay 12 líneas rectas de este tamaño, el perímetro de la figura 7(b) es 12 x (1/3) = 4. El lector se darácuenta de que este nuevo perímetro (4) es mayor que el original (3).
Veamos ahora la figura 7(c). Cada línea recta de esta figura tiene (1/9) de longitud. En vista de que hay 48 de estas líneas, su perímetro es 48 x (1/9) = 5.333, mayor que los perímetros de las figuras 7(a) y 7(b).
Vemos entonces que la sucesión de valores de los perímetros es: 3, 4, 5.333,... Estasucesión va creciendo. La causa de que crezca es clara, ya que de un paso al otro el número de líneas rectas aumenta más rápidamente de lo que disminuye la longitud de cada línea recta. De hecho, en cada paso de la construcción el número de líneas se multiplica por el factor 4, mientras que la longitud de cada línea disminuye 3 veces. Por lo tanto, el perímetro se multiplica, de un paso al otro, porel factor 4 x (1/3) = 1.333, que es un número mayor que 1. Si el número de pasos es infinito, el perímetro de la figura así formada también resulta ser infinito.
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Figura 7. Pasos que siguen para construir el fractal llamado curva de Koch.
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Figura 7. Pasos que siguen para construir el fractal llamado curvade Koch (continuación).
La curva de la figura 7(d) se llama curva de Koch.
Nos debemos dar cuenta de que si se comparan las figuras que se forman en dos construcciones sucesivas, se verá que ambas tienen la misma estructura. Se recordará del capítulo III que lo mismo ocurre con la bahía cuando se cambia la escala.
Un objeto que presenta la misma estructuraal cambiársele indefinidamente la escala de observación recibe el nombre de fractal. Por lo tanto, la curva de Koch y la bahía son fractales.
Mandelbrot asegura que en la naturaleza existen muchos fenómenos de carácter fractal, de hecho, muchos más de los que podemos imaginar. Mencionaremos en forma breve algunos.
La trayectoria que sigue una partícula que realizamovimiento browniano, descrita en el capítulo IV es un fractal. En efecto, al pasar de una escala a otra, como por ejemplo, cuando se pasa de la figura 5 a la 6, las estructuras son similares.
También los paisajes naturales presentan características de los fractales. Así, la forma de las cadenas montañosas (figura 8) da lugar a que si uno intentara medir su superficie encontraría valores...
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