Fractales

´ ´ INFROMATICA BASICA
Blancas Ch´vez Saira Jazm´ a ın 2 de diciembre de 2009

FRACTALES
1. Historia de los fractales

En 1919 Hausdorff ide´ un m´todo para medir las dimensiones y medidas de los fractales, el o e llamado medida y dimensi´n Hausdorff. Al a˜o siguiente Besicovitch, interesado por el trabajo de o n Hausdorff, en particular por la dimensi´n Hausdorff cre´ la teor´ geom´trica de lamedida. En el o o ıa e a˜o de 1975 el matem´tico Benoit Mandelbrot 1 ( Ver Fig 1 ) comenz´ a desarrollar el concepto n a o de fractal. Estaba muy emocionado con los patrones que observaba en la naturaleza pero le era muy difcil describirlos de forma geom´trica eucl´ e ıdea ya que no ten´ formas definidas: como las ıan monta˜as que no son conos, los rayos que no son rectas, ni las nubes sonesf´ricas. La palabra fractal n e proviene del lat´ ‘fractus’que significa roto o fracturado. ın En el a˜o de 1982 Benoit Mandelbrot public´ su libro ”The Fractal Geometry of Nature.en n o donde dec´ Un fractal es, por definici´n, un conjunto cuya dimensi´n de Hausdorff-Besicovitch es ıa: o o estrictamente mayor que su dimensi´n topol´gica. As´ pues lo que los fractales hacen es ayudarnos o o ı a acercarnosa la complejidad de la Naturaleza.

2.

Fractales y sus caracter´ ısticas

Un fractal es un objeto semi geom´trico cuya estructura b´sica, fragmentada o irregular, se e a repite a diferentes escalas. En muchos casos, los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares independientemente de la escala espec´ ıfica. Los fractalesson estructuras geom´tricas que combinan irregularidad y estructura. e Sus principales caractersticas son: Es demasiado irregular para ser descrito en t´rminos geom´tricos tradicionales. e e Posee detalle a cualquier escala de observaci´n. o Es autosimilar (exacta, aproximada o estad´ ıstica). Es decir, si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse adiferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.
1 Considerado

el descubridor de los fractales aunque detr´s hay una larga historia a

1

Figura 1: Benoit Mandelbrot

Su dimensi´n de Hausdorff-Besicovitch no es entera o Su definici´n no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real. o Se define mediante un simple algoritmo recursivo. Tiene detalles en escalas arbitrariamentepeque˜as. n Aunque pudieramos ver algunas cosas que pensar´ ıamos fuesen fractales, si no cumplen con las caracter´ ısticas anteriores, no se le podr´ considerar como tal. ıa

3.

Tipos de Fractales

Debido al sin´mero de objetos que presentan un comportamiento fractal resulta ser dif´ poder u ıcil clasificarlos asi que se clasificaran los mecanismos que la generan: Algor´ ıtmos de escape. Para cadapunto se calculan una serie de valores mediante la repetici´n de una f´rmula hasta o o que se cumple una condici´n, momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con o el n´mero de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de operaciones, por u lo cual s´lo pueden dibujarse con la inestimable ayuda del ordenador.( Ver Fig 2 ) o Funciones iteradas El sistema defunciones iteradas (IFS) es un m´todo creado por M. Barnsley, bas´ndose en e a el principio de autosemejanza. En un fractal IFS siempre se puede encontrar una parte de la figura que guarda una relaci´n de semejanza con la figura completa. Esa relaci´n es a menudo o o 2

Figura 2: Benoit Mandelbrot, considerado el descubridor de los fractales

Figura 3: Benoit Mandelbrot, considerado el descubridorde los fractales

muy dif´ de apreciar, pero en el caso del helecho es bastante clara: cualquier hoja es una ıcil r´plica exacta de la figura completa.( Ver Fig 3 ) e ´ Orbitas ca´ticas o Es una representaci´n bidimensional y coloreada de la elipse. B´sicamente est´ formada por o a a un hilo infinitamente largo que va describiendo una trayectoria tridimensional acerc´ndose y a alej´ndose de...