fractales

1) ¿Qué es un fractal?


Un fractal es un ente geométrico el cual en su desarrollo espacial se va reproduciendo
A si mismo cada vez a una escala menor. Una característica esencial de los fractales
Consiste en observar con una lupa, una parte cualquiera del mismo,
Ésta reproduce a escala menor la figura total del fractal.
Como ejemplo vamos a presentar la construcción del fractalconocido como
Triángulo o Alfombra de Sierpinski. Se parte de un triángulo equilátero. Se marcan los puntos medios de cada lado y se unen por segmentos rectilíneos con lo que aparecerán
4 triángulos. El triángulo del medio se elimina. El procedimiento descrito se reitera en cada triángulo no suprimido una y otra vez.
La definición de fractal en los años 1970, dio unidad a una serie de ejemplos,algunos de los cuales se remontaban a un siglo atrás.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Es auto similar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño.





2)Características principales

Auto similitud:
Según B. Mandelnrot, un objeto es auto similar o auto semejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.
Los fractales pueden presentar tres tipos de auto similitud:
Auto similitud exacta: Este es el tipo más restrictivo de auto similitud exige que elfractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas.



Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escala
Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. MatemáticamenteD.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.

Auto similitud estadística: Es el tipo más débil de auto similitud se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplosde fractales de este tipo.

Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch
Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que locontiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:
La dimensión fractal: Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales:líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc. Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.
La dimensión de Hausdorff-Besicovitch: Tiene una definición más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.



Definición por algoritmos recursivos Podemos destacar trestécnicas comunes para generar fractales:
Sistemas de funciones iteradas (IFS): Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones, el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o la Esponja de Menger, son algunos ejemplos.
Fractales de algoritmos de Escape,...