fractales



La geometría fractal de la naturaleza1



















Índice
Resumen2
Introducción 3
¿Qué es un fractal? 5
Autosimilitud: 5
La dimensión “extraña” 6
Algunos datos históricos 11
Clasificación 13
Ejemplos clásicos de conjuntos fractales 14
El conjunto de Cantor 14
El triángulo de Sierpiński 15
El Conjunto de Besicovitch 16
La curva de Koch 17
Aplicaciones19
Compresión de imágenes 19
Modelado de formas naturales 20
Sistemas dinámicos 20
En manifestaciones artísticas 21
Medicina 22
Antenas 22
Otras 22
Conclusiones 23
Bibliografía 25


Introducción
Podemos ubicar la geometría fractal dentro del mundo de la geometría, junto a la geometría proyectiva, la geometría euclidiana, las no euclidianas y la topología. La geometría euclidiana es lageometría clásica que comenzamos a estudiar desde la escuela primaria; y es el punto de partida para las otras clases de geometría y la primera en orden cronológico. La geometría en general busca, modelar objetos y fenómenos de la naturaleza y hallar un orden en el universo.
Sin embargo las formas y figuras que estudia la geometría euclidiana son bastante ideales, suaves, regulares, es decir másbien alejadas de las que realmente se encuentra en la naturaleza.
Un viejo chiste sintetiza de manera magistral esta difícil relación: un granjero contrato a un equipo de científicos para que le asesoraran sobre cómo mejorar su producción lechera. Después de seis meses de trabajo, los científicos prepararon su informe. El granjero sólo leyó la primera frase: Supongamos, para empezar, que susvacas son esféricas…

Como afirma el propio B. Mandelbrot, considerado padre de los fractales:

“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas costeras no son circunferencias y la corteza de un árbol no es lisa, como tampoco es cierto que la luz viaje en línea recta”. (La geometría fractal de la naturaleza2, 1977, p.15).

Los objetos de la geometría euclídea son adecuadospara representar las invenciones del hombre, pero no son capaces de reproducir la sutil complejidad de las irregularidades de la naturaleza. En cambio, la geometría fractal pretende acercarse un poco más a las formas, objetos y fenómenos de la naturaleza; de hecho, uno de los libros clásicos de B. Mandelbrot lleva el atractivo título The Fractal Geometry of Nature. Justamente esta característica (lade constituir una geometría más cercana a la naturaleza) es una de las razones por las cuales la geometría fractal actualmente llama la atención.
Existen, según S. Sabogal y G. Arenas, al menos otros tres atractivos que posee esta geometría:

La belleza o vistosidad de las figuras que estudia, las numerosas aplicaciones que se le vienen encontrando en muy diversas ramas de la ciencia y aundel arte (física, biología, química, geología, medicina, pintura, arquitectura, música, literatura, diseño, entre otras), y por otra parte, dado que constituye un área de estudio relativamente nueva, se encuentra aún en ella una buena cantidad de problemas abiertos y preguntas sin respuestas conocidas (…). (2011, p.17)

Las formas de una nube, una cadena montañosa, una costa, el patrón deramificación de una planta, la turbulencia de un fluido, la estructura de los bronquios, el ritmo de los latidos del corazón o la distribución de galaxias son sólo una fracción de la diversidad de formas que puede describir esta geometría. En la Figura 1 se muestran ejemplos de la naturaleza donde llama la atención lo vistoso de su geometría.


Figura 1: Fractales en la naturaleza.
¿Qué es unfractal?
Un ejemplo sencillo de fractal es el coliflor, uno al verlo podría asociarlo a una media esfera, pero si logramos observarlo con más precisión vemos que es una superficie irregular compuesta por estructuras similares.
Si cortamos una de estas y la observamos en detalle, mantiene la forma de la original. A su vez podemos volver a cortar una parte de esa superficie nueva y tendremos una nueva...