Fractales

Fractales
Corimberto – Suarez Niccoló - Unamunzaga
30 de Junio de 2014

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Fractales
Corimberto – Suarez Niccoló - Unamunzaga
30 de Junio de 2014
1)

 Los ​
fractales​
 son entidades matemáticas que están por todas partes. Y, 

precisamente, por su variedad, son difíciles de definir porque no todos cumplen las mismas características, aunque hay algo en común: son el producto de la repetición de 
un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una 
complicación extraordinaria. Es decir, da como resultado un conjunto cuya frontera es 
imposible dibujar a pulso (por ser de longitud infinita). Hay muchos objetos de la 
naturaleza que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo parezcan: las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los 
ríos. En lo que se diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades 
infinitas. 
2)

Las características de los fractales son: 

Autosimilitud

 

Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la 
misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y 
pueden estar ligeramente deformadas. Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud: 
Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal 
parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos 
por sistemas de funciones iteradas (IFS). 
Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escala obtenemos copias 
del conjunto con pequeñas diferencias. Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes 
escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí 
mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto­similar 
a partir del concepto de cuasi­isometría. Los fractales definidos por relaciones de 
recurrencia son normalmente de este tipo. Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal 
tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los 
fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo. 
Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff­Besicovitch 
Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la 
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forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos 
preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. 
Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son: 
 La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las 
bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que 
contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. 
Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes, 
árboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos. 
La dimensión de Hausdorff­Besicovitch. Tiene una definición más compleja que la de 
dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo 
real. 
Autosimilitud estadística de un fractal generado por el proceso de agregación limitada 
por difusión. 
Definición por algoritmos recursivos Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales: 
Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazan recursivamente 
por su imagen bajo un sistema de aplicaciones: el conjunto de Cantor, la alfombra de 
Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de 
nieve de Koch o la Esponja de Menger, son algunos ejemplos. ...