Fractales

Tesis de Maestr´ ıa:An´lisis de Algoritmos que sirven para a determinar ra´ de polinomios complejos ıces
Lic. Pedro Guillermo Rend´n Castro o 01 de Abril del 2010

´ Indice general
1. 2. 3. Generaci´n de Fractales o 3.1. Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Definici´n de fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o3.2. An´lisis de algunos fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.2.1. El conjunto de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Generaci´n del conjunto de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2.3. Seudoc´digo del programa generador del conjunto de Julia . . . . . . o 3.2.4. Diagrama de flujo del programa generador del conjunto de Julia .. 3.2.5. Generaci´n del Fractal de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2.6. 3.2.7. M´todo de dibujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Seudoc´digo del programa generador del conjunto de Mandelbrot . o
II

III

1 1 1 2 2 3 4 5 6 7 9 10 11 11 15 16

3.2.8. Diagrama de flujo del programa generador del Fractal de Mandelbrot 3.3. El fractal de Newton . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. M´todo de dibujo para el fractal de Newton: . . . . . . . . . . . . . e 3.4. 3.5. Programas de elaboraci´n propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Programas para el dibujo de fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Cap´ ıtulo 1

ii

Cap´ ıtulo 2

iii

Cap´ ıtulo 3

Generaci´n de Fractaleso
3.1.
3.1.1.

Fractales
Definici´n de fractal o

La palabra ”fractal” proviene del lat´ fractus, que significa ”fragmentado”, ın ”fracturado”, o simplemente ”roto” o ”quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensi´n es fraccionaria. El t´rmino fue acu˜ado por Benoˆ Mandelbrot en 1977 y apareci´ en o e n ıt o su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales sele conoce, generalmente, como geometr´ fractal. ıa Un fractal es un conjunto matem´tico que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, a su dimensi´n, generalmente, no es entera. El hecho que goce de autosimilitud significa que o el objeto fractal no depende del observador ni del lugar observado, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento dobleel dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma caracter´ ıstica, as´ pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta que las partes se parecen al ı todo. Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tama˜o se hace arbitrariamente n mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye. Hay muchos objetos ordinarios que, debido a suestructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las monta˜as, las n costas, los ´rboles y los r´ son fractales naturales aunque finitos ; no as´ como los fractales a ıos ı matem´ticos que gozan de infinidad y son ideales. a

1

Generacion de Fractales

p´g. a

2

3.2.
3.2.1.

An´lisis de algunos fractales a
El conjunto de JuliaPrimero: consideremos una funci´n de iteraci´n de variable real y valor real dada por o o f (xn ) = f (xn−1 )2 −1 cuando iteramos para los puntos iniciales comprendidos entre [−Φ, Φ], es decir, los valores comprendidos entre el n´mero ´ureo (Φ = u a
√ 1+ 5 2

= 1, 618...) y su valor

negativo, sus imagenes bajo f tienden a un punto que no es infinito mientras que cuando se itera a partir deun n´mero no comprendido entre el intervalo anterior la iteraci´n tiende u o al infinito. Ejemplo : 3.2.1 Escojamos un valor dentro del intervalo [−Φ, Φ] , por ejemplo x = 0,5 x x=0.5 El valor inicial para la iteraci´n, n´tese que el o o valor est´ comprendido en el intervalo [−Φ, Φ] a x = −0,75 x = −0,4375 f (0,5) = −0,75 f (−0,75) = −0,4375 f (−0,4375) = −0,80859 f (x)

Si seguimos iterando...