Frances

INTRODUCCION
El algebra lineal se ha convertido en parte esencial del conocimiento matemático requerido a ingenieros, físicos etc.
El trabajo presentado dará a conocer temas como espacios vectoriales y transformaciones lineales con el propósito de mostrar definiciones y principalmente ejemplos cuyo objetivo sea dejar bien clara la enseñanza al lector.
En el capítulo IV observaremos losespacios vectoriales que se definen por dos operaciones y la suma y multiplicación a la vez estas sujetas a 10 axiomas, tipos de espacios vectoriales por ejemplo el subespacio, dependencia e independencia del mismo, base y dimensión etc. Que nos ayudan al aprendizaje de nuestro capitulo con el apoyo de ejemplos.
El capitulo V trata de las transformaciones lineales las cuales proporcionan una visióndinámica y grafica de la multiplicación matriz-vector por medio de ejemplos los cuales facilitan el conocimiento del lector y hace más interesante aprender el tema.

Capítulo I
ESPACIOS VECTORIALES
Sean K un cuerpo dado y V un conjunto no vacio, con reglas de suma de producto por un escalar que asignan a cada par u, v€V una suma u+v€V y a cada par u€V, k€K un producto ku€V. V recibe el nombre deespacio vectorial sobre K y los elementos de V se llaman vectores si se satisfacen los siguientes axiomas.
1. La suma de u y v denotada por u+v esta en V
2. u+v=v+u
3. (u+v)+w=u+(v+w)
4. Existe un vector cero 0 en V tal que u+0=u
5. Para cada u en V existe un vector –u en V tal que u+(-u)=0
6. El múltiplo escalar de u por c denotado por cu esta en V
7. c(u+v)=cu+cv8. (c+d)u=cu+du
9. c(du)=(cd)u
10. 1u=u
Ejemplos de espacios vectoriales
1) , la recta numérica, con las operaciones habituales de adición y multiplicación.
2) Sea N el conjunto de los números naturales.
Entonces n={v=(x1, x2, . . . , xn)|xiÎ,"iÎ[1,n]N}, con la adición y multiplicación por escalares definidas por:
(x1, x2,…, xn )+(y1,y2,…,yn ) = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn )( x1, x2,…, xn ) = ( x1 , x2 ,…, xn )
3) El conjunto de las funciones reales continuas definidas sobre un intervalo [a,b]Ì ,que denotamos por . Es decir, ={f|f es continua en [a,b]}. Las operaciones son:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(af)(x)=af(x)
"f,gÎ,xÎ[a,b],aÎ .
Este es uno de los espacios de funciones más importante en Análisis Matemático.
4) mxn, el espacio de lasmatrices reales de orden mxn, con m, n Î N.
mxn = { A : A es una matriz real de orden mxn}. Las operaciones son:
A+B=C,aij+bij=cij ,
B=aA,bij=aaij,
"A,B,CÎmxn,(i,j)Î[1,m]x[1,n],aÎ .
5) El espacio de las sucesiones reales
l2 = {v = (x1, x2, .. , xn, ...): < }, con las operaciones:
i) (x1, x2,...,xn,...)+(y1, y2,...,yn,...) = (x1 + y1 , x2 +y2,...,x + yn,...)
ii) a (x1 , x2 , ..., xn,...) = ( a x1 , a x2 , ... , a xn, ...)
"(x1,x2,...,xn,..),(y1,y2,...,ym,..)Îl2, aÎ
La verificación que todas las propiedades para la adición y multiplicación por escalares se cumplen es bastante simple en todos los casos, excepto quizás en el ejemplo 5. Veremos este caso como ejercicio. En realidad, la única dificultad consiste en demostrar que la suma de dos sucesiones en l2 es también unasucesión en l2. En efecto, si (x1,x2, .., xn, ...) e (y1 , y2 , ... ,yn) están en l2 , entonces
|xn|2 < , |yn|2 <

Para la sucesión suma :
|xn + yn|2
=|xn|2 + 2 |xn| |yn| +|yn|2
Pero: (|xn|-|yn|)2>0, luego:
| xn |2-2|xn||yn|+|yn|2 >0
|xn|2+|yn|2 >2|xn||yn|
así: |xn + yn|2 |xn|2 + ( |xn|2 + |yn|2 ) + |yn|2
= 2 |xn|2 + 2 |yn|2 <
6) El espacio de las sucesiones realesconvergentes c={v=(x1,x2,...): }, con las operaciones:
i) (x1, x2,.....)+(y1, y2,.....) = (x1 + y1 , x2 +y2,.....)
ii) a (x1 , x2 , ..., xn, ...) = ( a x1 , a x2 , .....)
"(x1,x2,.....), (y1,y2,.....)Îc, "aÎ
7) El espacio de las sucesiones reales convergentes a cero c0={v=(x1,x2, ...): }, con las operaciones del ejemplo 6.
8) El conjunto de todas las sucesiones numéricas acotadas...