Franquicias

M´ todo de Newton para obtener soluciones de ecuaciones no lineales e El m´ todo de Newton calcula, en vez de una sucesi´ n de intervalos anidados que e o contienen la soluci´ n de la ecuaci´ n f (x) = 0, una sucesi´ n de puntos que, bajo cono o o diciones apropiadas, convergen a la soluci´ n. Se empieza con una estimaci´ n inicial o o x0 (para la elecci´ n de la cual no hay una regla general).En ese punto x0 calculamos o el valor de f (x0 ) y tambi´ n la derivada f (x0 ). Esta informaci´ n es suficiente, como e o sabemos, para determinar la recta tangente a la gr´ fica de la funci´ n f (x) en x = x0 , a o tal como se ve en la figura.

El punto donde esta recta corta el eje x constituye una aproximaci´ n a la soluci´ n o o en principio mejor que x0 , y as´ la llamamos x1 . A continuaci´ nrepetimos el proceso ı o desde el nuevo punto x = x1 , construyendo la recta tangente a la gr´ fica de f (x). a Este paso y el siguiente tambi´ n se muestran en la figura. As´, la base del m´ todo de e ı e Newton es una sucesi´ n de aproximaciones a f (x) por medio de l´neas rectas. o ı Vamos a obtener a continuaci´ n una f´ rmula que relaciona xk con la (supuestao o mente mejor) aproximaci´ n xk+1. A partir de la figura, es f´ cil encontrar esa f´ rmula. o a o La recta tangente a la curva en el punto (x0 , f (x0 )) es y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) de manera que en el punto (x1 , 0) se tiene que −f (x0 ) = f (x0 )(x1 − x0 ). Despejando x1 obtenemos f (x0 ) x1 = x0 − f (x0 ) 2

y en general f (xk ) f (xk )

xk+1 = xk −

Ejemplo. La ra´z cuadrada de un n´ mero positivo a es la soluci´n de la ecuaci´ n ı u o o 2 2 x − a = 0. Por tanto f (x) = x − a es la funci´ n que hemos de estudiar y f (x) = 2x o es la derivada. La iteraci´ n de Newton es o x2 − a 1 a xk+1 = xk − k = xk + . 2xk 2 xk ´ Este es esencialmente el antiguo m´ todo babil´ nico para calcular ra´ces cuadradas e o ı (en este m´ todo se promedian dos aproximaciones que se sabe contiene la soluci´ n e o exacta). Si ennuestro ejemplo consideramos a = 4 con la aproximaci´ n inicial x0 = 1 o se tiene: x0 x1 x2 x3 x4 x5 = = = = = = 1 2,5 2,05 2,000609756097561 2,000000092922294 2,000000000000002

Obs´ rvese la rapidez con la que converge el procedimiento al valor exacto. Cada e iteraci´ n duplica el n´ mero de d´gitos exactos. o u ı Normalmente es bastante importante la elecci´ n del punto inicial x0 . Se tieneel o siguiente resultado: Teorema. Si f (r) = 0, f (r) = 0 y f (x) es continua, entonces existe un intervalo abierto N (r) que contiene a r de tal manera que si x0 ∈ N (r), entonces xk −→ r conforme k → ∞, estando la sucesi´ n xk definida por el m´ todo de Newton. o e As´, hablando en t´ rminos generales, si el punto inicial x0 est´ ‘suficientemente ı e a cerca´ de la soluci´ n r, entonces el m´todo de Newton converge a dicha soluci´ n. Otra o e o cosa diferente es decidir si x0 est´ ‘suficientemente cerca’ de r. a Ahora bien, cuando el m´ todo converge, lo hace con mucha rapidez. Esto se puede e establecer como teorema. Teorema. Si f (r) = 0, f (r) = 0 y f (x) es continua, entonces para x0 suficientemente pr´ xima a r, se tiene o f (r) ek+1 , l´ ım 2 = k→∞ e 2f (r) k 3

siendo ek ≡ xk −r. En la pr´ ctica, este resultado es esencialmente equivalente a decir que a ek+1 ≈ f (r) 2 e . 2f (r) k

De esta forma, si ek es peque˜ o, ek+1 es mucho m´ s peque˜ o. Esta r´ pida convergencia n a n a del m´ todo de Newton se puede apreciar mejor usando una medida logar´tmica de la e ı precisi´ n: o f (r) (− log10 |ek+1 |) ≈ 2 (− log10 |ek |) − log10 2f (r) Aqu´ ı (− log10 |ek+1 |) (− log10|ek |) f (r) log10 2f (r) n´ mero de cifras decimales en la nueva iteraci´ n u o n´ mero de cifras decimales en la antigua iteraci´ n u o constante

Dicho de otra forma, cada iteraci´ n duplica el n´ mero de cifras decimales exactas, o u si despreciamos el t´ rmino constante, lo cual puede hacerse para k grandes. Se dice e entonces que la convergencia es cuadr´ tica. a Una de las grandes...