Fraunhofer

DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER
FUNCIONES DE TRANSMISIÓN

Estos problemas proceden de cuadernillos y exámenes de años anteriores.
Las soluciones presentadas aquí se basan en los enunciados resueltos por
los profesores de la sede central Carmen Carreras y Manuel Yuste

1

PROBLEMA 1
Una rendija rectangular de dimensiones bx  by se ilumina con un haz plano monocromático de
longitud de onda . Determinaren aproximación de Fraunhofer la intensidad sobre una pantalla
situada a una distancia z de la rendija (z >>bx, by).
Sean x1, y1 las coordenadas de los puntos del plano donde se encuentra la rendija difractante.
Las coordenadas x0, y0 corresponden a la pantalla donde se observa la figura de difracción.

y0 El campo difractado es: E ( x , y )  1 exp j k z  exp  j k  x 2  y 2  TF  t ( x ,y )
0
0
0
0
0 
1
1

j z

P

donde f x 

y1

z

x0

bx
by

x1

fy 



y0
z
 b 2 x b 2

x
1
x
TF es la transformada de
1
 by 2  y1 by 2
Fourier de la función de t ( x1 , y1 ) 
0 en otro caso
transmisión






TF  t ( x1 , y1 ) 





t ( x1 , y1 ) exp  j 2  f x x1  f y y1  dx1 dy1

TF  t ( x1 , y1 ) 
bx / 2

Tomamos como origen del
plano x0, y0 el punto que estásituado directamente bajo el
centro de la rendija

x0
z

 2z



by / 2

exp  j 2 f x x1  dx1

 bx / 2

exp  j 2 f x x1 
TF  t ( x1 , y1 ) 
 j 2 f x







exp  j 2 f y y1 dy1

 by / 2

bx / 2

 bx / 2



exp  j 2 f y y1
 j 2 f y



by / 2

 by / 2

2

PROBLEMA 1 (CONT.)

TF  t ( x1 , y1 ) 

1
1
exp  j 2 f y by / 2  exp j 2 f y by / 2 
 exp  j 2 f x bx / 2 -exp j 2 f x bx / 2 
 j 2 f x
 j 2 f y








b 







1  exp j f x bx   exp  j f x bx   1  exp j f y by  exp  j f y y
 fx
2j
 fy
2j
sin   f x bx  sin  f y by
sin  f x bx  sin  f y by b b sinc  f b  sinc  f b
TF  t ( x1 , y1 ) 
bx by
x y
x x
y y
 fx
 fy
 f x bx
 f y by
TF  t ( x1 , y1 ) 



fx 
fy 

x0
z

y0
z

E 0 ( x0 , y 0 ) 









  by 
1
 k

  bx 
exp j k z  exp  j  x02  y02  bx by sinc 
x0  sinc 
y0 
j z
2
z

z

z







I ( x0 , y0 )  E0 ( x0 , y0 ) E0* ( x0 , y0 ) 



1
1
k
  by 
 k



 bx 
exp j k z  exp  j  x02  y02  
exp  j k z  exp   j  x02  y02 bx2by2sinc 2 
x0  sinc 2 
y0 
j z

z

z
 2z
  j  z
 2z





  by 
  bx 
I0 ( x0 , y0 ) I 00 sinc 2 
x0  sinc 2 
y0  I 00 sinc 2  x sinc 2  y
 z 
 z 

x 

 bx
x0
 z

y 

 by
y0
 z

I 00 es el valor máximo de la intensidad en el punto central del plano de observación (x ,y )
0 0
I 0 ( x0 , y0 ) es la distribución de intensidad en el plano de observación (x0,y0)

3

PROBLEMA 2
Una onda plana monocromática de longitud de onda  incide sobre elsistema de doble rendija
indicado en la figura, y se observa la figura de difracción sobre la pantalla P. Se pide:
a) Determinar la distribución de intensidad sobre la pantalla en aproximación de Fraunhofer.
(suponemos que la separación z entre las rendijas y la pantalla de observación es mucho mayor
que el tamaño de las rendijas).
b) Representar gráficamente la intensidad a lo largo de los ejes x0 e y0del plano P, siendo:
P

bx
10 m -1
z

y0

y1

z
x0

by
x1

d

by
z

bx

by

z

d
1.5 m -1
z

1 m -1

Ayuda: El campo escalar de difracción de
una rendija rectangular bx by cuyo centro
NO ESTÁ sobre el origen de coordenadas,
sino que está en el punto (x1, y1) es



E  x0 , y0  E0  x0 , y0  exp j  x   y 

x 

2 x1C
x0
 z

y 



2 y1C
y0
 z

Donde x1C, y1C son lascoordenadas del centro de la rendija
no centrada sobre el origen
Es decir, el campo difractado por una rendija no centrada se
obtiene multiplicando el campo difractado por una rendija
centrada por una corrección de fase.

4

PROBLEMA 2 (CONT.)
El campo difractado en la pantalla (x0,y0) por una rendija rectangular bx  by centrada en el
origen en el plano (x1,y1) es (véase problema anterior):
E 0 ( x0 ,...