Frecuencia Complja

INTRODUCCIÓN En este capitulo relacionaremos todas las técnicas analíticas de circuitos estudiadas en un solo conjunto. Los análisis de circuitos resistivos, el análisis en estado senoidal estable o permanente, el análisis transitorio, la respuesta forzada, la respuesta compleja, el análisis de circuitos alimentados por funciones de excitación exponenciales y senoidales exponencialmenteamortiguadas serán casos especiales de las técnicas generales para el análisis de circuitos asociados con el concepto de frecuencia compleja. Primero se dará una definición matemática y conforme avanza el estudio del capitulo el estudiante observará una interpretación física del problema. FRECUENCIA COMPLEJA Las funciones senoidales, exponenciales, senoidales amortiguadas y de voltaje de corriente directapueden escribirse de la forma:

Donde K y s son constantes complejas y está caracterizada por la frecuencia compleja s, que es el factor que multiplica a t en esta representación exponencial compleja. Aplicando esta definición a una función de excitación de voltaje constante V(t)=Vo, se puede escribir de la forma:

(La frecuencia compleja s de una corriente o voltaje de corriente directa es 0)Para la función exponencial la frecuencia compleja de un voltaje es por lo tanto:

De igual forma para un voltaje senoidal Usando la identidad de Euler:

:

Así obtenemos:

Observamos en esta última ecuación que hay dos frecuencias complejas, una para cada término; donde los valores de K: (son conjugados al igual que

Para la función senoidal exponencialmente amortiguada:

y escritode forma simplificada:

donde

.

La amplitud y el ángulo de fase del voltaje senoidal dependen del valor de K para cada una de las dos frecuencias. Se acostumbra denotar por imaginaria; luego: a la parte real de s, y por (no j ) a la parte

Donde: es la frecuencia de amortiguamiento (se mide en Nepers/s) es la frecuencia angular (se mide en rad/s) s se mide en Nepers/s o rad/s

EJEMPLO1 1. Encuentre i(t) sí:

a)

b)

SOLUCIÓN: a) La forma de la ecuación es:

Como:

Por lo tanto:

b) Para este caso:

Por lo tanto:

EJEMPLO 2 Encuentre las frecuencias complejas que se encuentran presentes en el circuito de la figura; si el condensador se encuentra cargado y el interruptor se cierra en t=o.

SOLUCIÓN:

Las raíces del polinomio son:

FUNCION DE EXCITACIÓNSENOIDAL AMORTIGUADA

La senoidal general con variación exponencial en términos de la frecuencia compleja s como:

puede expresarse

Factorizando y sustituyendo

:

Que es muy similar con la representación de la senoidal no amortiguada:

Aplicando la senoidal exponencialmente amortiguada a una red eléctrica podemos buscar la respuesta forzada de una corriente en alguna rama de la red;podemos suponer que la respuesta es:

Donde la frecuencia compleja de la fuente y la respuesta deben ser iguales.

Obtendremos una respuesta completa cuya parte real es la respuesta real buscada y trabajaremos omitiendo la notación Re, pero está se reinsertará siempre que se quiera obtener la respuesta en el dominio del tiempo. La solución final de este tipo de problemas consiste en encontrarla amplitud de la respuesta Im y el ángulo de fase de la corriente.

Los pasos a seguir básicos del método de solución son:

- Caracterizar el circuito por medio integrodiferenciales de lazo o de nodo.

de

un

conjunto

de

ecuaciones

- Sustituir las funciones de excitación dadas y las respuestas forzadas supuestas en forma compleja en las ecuaciones. - Realizar las integrales yderivadas indicadas. - En todas las ecuaciones cada termino tendrá el factor, se divide todo entre este factor para tenerlo en el dominio de la frecuencia. - Una vez realizados los anteriores pasos, las ecuaciones integrodiferenciales se transforman en algebraicas y se solucionan muy fácilmente.
EJEMPLO

Aplique la función de excitación , al circuito RLC en serie de la figura y especifique la...