FrecuenciaCompleja

Frecuencia Compleja
Circuitos eléctricos 2

Introducción
Función senoidal amortiguada



v(t) = Vmet cos (t + )

v(t) = V0



v(t) = Vm cos (t + )



v(t) = Vmet

Frecuencia Compleja
sj 
 = frecuencia neper,

 = frecuencia real

s=0

f(t) = Ke

st

s = s1 = js = s2 = j
 ½Vmej
    ½Vmej

s =  + j0

v(t) = V0
v(t) = Vmcos (t + )
=0
v(t)= Vmet cos (t + )
0

v(t) = Vmet

ejemplo
Identificar las frecuencias complejas presentes en las funciones en tiempo real siguientes:
a) (2e–100 t + e–200 t)sen 2000 t.
(2e–100 t + e–200 t)sen 2000 t = 2e–100 t sen 2000 t + e–200 tsen 2000 t
2e–100 t sen 2000 t



–100 + 2000j, –100 – 2000j

e–200 tsen 2000 t



–200 + 2000j, –200 – 2000j

b) (2 – e–10 t)cos(4t + ).
(2 – e–10 t)cos(4t +) = 2cos(4t + ) – e–10 tcos(4t + )
2cos(4t + )



4j, –4j,

e–10 tcos(4t + )



–10 + 4j, –10 – 4j

c) e–10 tcos 10t sen 40 t
e–10 tcos 10t sen 40 t = e–10 t(sen(40t – 10 t) + sen(40t + 10 t))/2
e–10 tsen(30t)



–10 + 30j, –10 – 30j

e–10 tsen(50t)



–10 + 50j, –10 – 50j

Función senoidal amortiguada
Un voltaje senoidal amortiguado
v(t) = Vmet cos (t + )
Puede escribirse como
v(t)= Re(Vmet ej(t + )) o v(t) = Re(Vmet ej(–t–))
factorizando ej.
v(t) = Re(Vmeje (+t)t)
o
v(t) = Re(Vmeje st)

Ejemplo
Se aplica una función senoidal amortiguada v(t) = 60e–2t cos(4t + 10°) V a un
circuito RLC serie R = 2 Ohms, L = 3H, y C = 0.1 F, encuentre la corriente
en el dominio del tiempo.
v(t) = 60e–2t cos(4t + 10°) = Re(60e–2tej(4t+10°))
= Re(60ej10°e(–2+j4)t)
o
v(t) =Re(Ves t)
con V = 6010° y s = –2 + 4j
La corriente debe ser de la forma Ies t con I = Im.
Sustituyendo en la ec. de Kirchhoff se obtiene
6010°es t = 2 Ies t + 3 s Ies t + 10/ s Ies t
Eliminando es t y despejando
I = 6010°/(2 + 3 s + 10/ s)

Ejemplo (cont.)
Sustituyendo s = –2 + j4 nos da
I = 5.37 –106.6°
La corriente en función del tiempo es
i(t) = 5.37e–2t cos(4t –106.6°)

Tarea
Expresar cadauna de las corrientes siguientes en el dominio de
la frecuencia: a) 4 e-20t cos(1000t + 60°) mA; b) 4 sen(800t +
60°) mA; c) -4 e-5t sen(1000t – 60°) mA
Si V = 64/_80° V, hallar v(0.001) si s = : a) -800 + j600; b) –
j600; c) -800 – j600.

4/_-30°, 4/_30°, 4/_60°; -11.9, 20.1, 44.8

Z(s) y Y(s)
El voltaje y la corriente se representan como
v(t) = Re(Vest)

i(t) = Re(Iest)

Para una bobinaRe(Vest) = Re(sLIest)
Eliminando est
V = sLI
Impedancia: Z(s) = I/V = sL Admitancia: Y(s) = V/I = 1/sL

Z(s) y Y(s)
R

L

C

Z(s)

R

sL

1/sC

Y(s)

R

1/sL sC

Ejemplo

I = 60/_10°/(2 + (-6 + j12) +(-1 – j2)) = 5.37/_106.6°

La respuesta en frecuencia como
función de 
Para un circuito RL
I

I

V /_ 0
R  sL

Vm
V
1
 m
R  L L   R / L

La respuesta en el tiempo es
Vm
i t  
et
R  LCircuito RL
Vm
1
I
L R/L
%respuesta en función de sigma,
circuito RL
R = 1;
L = 1;
Vm = 1;
sigma = -5:0.1:5;
I = (Vm/L)./(sigma+R/L);
plot(sigma,abs(I));
axis([-5,5,0,2]);
grid
title('magnitud de I vs. sigma');

Vm/R

-


Polo en R/L

Análisis de la respuesta
La respuesta tiene un cero en  y un polo en –R/L.
Al aplicar una señal finita a la frecuencia del polo se obtiene
un respuestainfinita.
Al aplicar una señal de magnitud cero en la frecuencia del
polo se obtiene una respuesta finita, la respuesta natural del
circuito RL.
i(t) = Ime–Rt/L

1  5 5  100 /  

Z ent   5 ||  5 

0.01  5  5  100 / 

Z ent 2.5

  20
  10

10(  20)
V0 
(  10)
10(  20)  t
v t  
e
(  10)

Cero en –20
Polo en –10

%respuesta en función de sigma, circuito RC
sigma =-60:1:40;
V0 = 10*(sigma + 20)./(sigma + 10);
plot(sigma,abs(V0));
axis([-60,40,0,40]);
grid
title('magnitud de V0 vs. sigma');

I 100


(  1)(  5)

in  Ae  t  Be  5t

mínimo relativo



-


%respuesta en función de sigma, circuito RLC
sigma = -7:0.05:1;
I = 100*sigma./((sigma + 1).*(sigma + 5));
plot(sigma,abs(I));
axis([-7,1,0,300]);
grid
title('magnitud de I vs. sigma');

5...