Freeas

Anillo de matrices cuadradas
Un anillo es una terna tal que:
1. es un grupo abeliano.
2. es un semigrupo.
3. El producto es distributivo respecto de la suma.
Si además existeelemento neutro 1 (o unidad) del producto, el anillo se dice unitario, y si el producto es conmutativo se trata de un anillo conmutativo (puede ser ambas cosas, que es el caso más corriente, y entonces setrata de un anillo conmutativo y unitario).
Ejemplo 2.3  
1. Z Z es un anillo conmutativo y unitario.
2. Si es un anillo conmutativo (y unitario) entonces los polinomios en un número finitode indeterminadas con coeficientes en , junto con la suma y el producto usuales, es decir, es un anillo conmutativo (y unitario).
3. Las matrices cuadradas con la suma y el producto de matricesforman un anillo unitario (no conmutativo).
4. IN es lo que se denomina un semianillo conmutativo y unitario; se deja como ejercicio escribir las definiciones adecuadas.
Por otra parte, se diceque es un divisor de cero si existe tal que (por tanto, también lo es). Por ejemplo, en el anillo de matrices de coeficientes reales con la suma y el producto usuales se tiene que

con lo queambas matrices son divisores de cero. Así pues, si en un anillo no existen divisores de cero, es decir

entonces se dice que el es un anillo íntegro o dominio de integridad (abreviadamente se sueledecir que es un dominio). Por lo que acabamos de ver, las matrices cuadradas no constituyen un dominio de integridad. En cambio, el anillo de enteros es íntegro, así como los anillos de polinomios concoeficientes en un dominio (por ejemplo Z Z).
TRASPUESTA DE UNA MATRIZ
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.  
Así, la traspuestade

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m  n, entonces AT = es la matriz n  m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:  
1. (A + B)T = AT + BT....