Frege Russell Y El Logicismo

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“Todo buen matemático es al menos mitad filósofo. Todo buen filósofo es al menos mitad matemático”. G. Frege
“La llave de entrada a los fundamentos de las matemáticas yace oculta en algún lugar
entre las raíces filosóficas del logicismo, el intuicionismo y el formalismo”. E. Snapper.

Gottlob Frege (1848-1925) hizo su doctorado en Gotinga con una tesis sobre la fundamentación de lageometría. Fue
profesor de la Universidad de Jena durante toda su vida y uno de los fundadores de la lógica simbólica. Tocó todas las
áreas de las matemáticas de su tiempo, pero sus escritos más importantes están en la filosofía y en la lógica.

5.6. – Frege, Russell y el Logicismo.
Veíamos cómo las paradojas nos alertaban sobre el peligro que implica introducir en una teoría
matemática conjuntosarbitrarios, o demasiado grandes que van a crear dificultades a la teoría. Esto
ocurre, por ejemplo, con el conjunto U “de todos los conjuntos” o con el conjunto W de Russell1,
conformado por “los conjuntos que no se contienen a si mismos”. Conjuntos como estos, generaron
profundas paradojas en la naciente teoría de Cantor.
A Russell lo recordaremos en matemáticas, por su monumental obra PrincipiaMathematica
(Principios de las matemáticas), escrita con Alfred North Whitehead, por su libro de divulgación
The Principles of Mathematics2 y por la paradoja que lleva su nombre. Esta paradoja tiene que ver
con conjuntos que no se contienen a si mismos. Por ejemplo, el conjunto de todas las casas, no es
una casa y así no se contiene así mismo. Sin embargo, el conjunto formado por todos los conjuntos
que noson casas, se contiene a si mismo como elemento. El conjunto de las frases de cinco palabras
contiene a la frase “las frases de cinco palabras”, y así este conjunto se contiene así mismo. En
general, todo conjunto está en una de las dos categorías: o en la clase W de los conjuntos que no se

1

Ver mi artículo Sobre Bertrand Russell y su paradoja, en:http://www.matematicasyfilosofiaenelaula.info/articulos/cronicaXVII010406.pdf.
2
Aun en circulación: Russell, B. The Principles of Mathematics. W. W. Norton & Company. New York. 1996.

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contienen a si mismos (conjuntos de Russell), o en la clase de conjuntos que se contienen a si
mismos.
Llamemos W al conjunto formado por todos los conjuntos de Russell. Y aquí viene la pregunta que
sacudió los mismos fundamentos de las matemáticas. ¿Es Wun conjunto de Russell? O poniéndola
más fácil: ¿W se contiene, o no, a si mismo? En sana lógica (aristotélica), la repuesta debe ser: si, o,
no. Si la respuesta es si: W esta en W, implica que W es un conjunto de Russell y por definición W
no está en W. Juntando cabeza y cola: si W está en W entonces W no está en W. ¿Cómo les parece
esta contradicción? De otro lado, si la respuesta es no: W noestá en W, entonces este conjunto no
se contiene a si mismo, es decir, W está en W. Otra vez la contradicción. W no está en W implica
W está en W. Las dos alternativas conducen a una contradicción y consecuentemente W no se deja
clasificar ni como una cosa ni como la otra. Esto viola el sagrado principio aristotélico del tercero
excluido: o se está, o no se está, en una parte.
La alerta que ponenlas paradojas, nos llama a reflexionar sobre aquello que hoy llamamos los
fundamentos de las matemáticas. Frege intentó poner sobre bases sólidas la estructura de las
matemáticas con el recurso de la lógica, buscando definir en forma razonada conceptos que, como
el de número, se aceptaban a priori, como caídos del cielo y no sujetos a un examen riguroso en
cuanto a su existencia. Con la apariciónde los cardinales transfinitos, aparecieron también, un sin
número de paradojas, que vinieron a complicar la situación de la fundamentación de las
matemáticas.
Frege y Russell buscaron con el recurso de la lógica, hacer depender las matemáticas, de principios
lógicos, y de la naciente teoría de conjuntos. Indudablemente conjuntos como, U y W, mencionados
arriba, no son buenos candidatos para...