frenet teoria

FRÊNET-SERRET

GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS
En matemáticas, la geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en Variedades de Riemann, y enparticular, en el Espacio Euclídeo.
LONGITUD DE ARCO
Dada una curva suficientemente suave (diferenciable y de clase ), en  y dado su vector de posición  expresado mediante el parámetro t;

se define elllamado parámetro de arco s como:

La cual se puede expresar también de la siguiente forma en la cual resulta más fácil de recordar

Lo cual permite reparametrizar la curva de la siguiente manera:donde


son las relaciones entre las dos parametrizaciones.
VECTORES TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL: TRIEDRO DE FRÊNET-SERRET
Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t sedefine el llamado vector tangente, normal y binormal como:
 o bien 
 o bien 
 o bien 
Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referenciamóvil conocido como Triedro de Frênet-Serret a raíz del estudio de Jean Frenet y Joseph Serret. Es interesante que para una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a lavelocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.
Si la curva está parametrizada según la longitud de arco, como se explicóen la sección anterior las fórmulas anteriores pueden simplificarse notablemente:

Donde los parámetros χ y τ anteriores designan respectivamente a la curvatura y a la torsión.
CURVATURA Y TORSIÓNLa curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice que es más grande lacurvatura. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura es igual a:

Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reduce simplemente a:...