friccion

Universidad de Oriente
Núcleo Bolívar
Unidad de Cursos Básicos

008-1814 Matemáticas I (C.T)
Semestre I-2011

Funciones Reales y sus Graficas
Prof. Luis Alfredo Machado P.

LA GRAFICA DE UNA ECUACIÓN
En 1637, el matemático francés René Descartes revoluciono las matemáticas al unir sus dos
ramas principales: Algebra y Geometría. Con ayuda del plano cartesiano, los conceptosgeométricos pudieron formularse analíticamente y los conceptos algebraicos visualizarse
gráficamente.
Sus posibilidades de éxito en el Cálculo aumentaran siguiendo el mismo acercamiento. Es
decir, viendo el cálculo desde múltiples perspectivas (grafica, analítica y numérica)
incrementara su comprensión de los conceptos fundamentales.
Consideremos la ecuación 3‫ .7 = ݕ + ݔ‬El punto (2,1) es un puntosolucion de la ecuacion
puesto que esta ultima se satisface (es cierta) cuando se sustituye x por 2 e y por 1. Esta
ecuacion tiene muchas otras soluciones, como (1,4) o (0,7). Para hallar sistemáticamente
otras soluciones, podemos despejar a y de la ecuación inicial quedándonos:
‫ݔ3 − 7 = ݕ‬

Procedimiento analítico

Después, elaboramos una tabla de valores sustituyendo varios valores de x.
x0

1

2

3

4

y

7

4

1

-2

-5

Procedimiento numérico
A partir de la tabla, puede verse que (0,7), (1,4), (2,1), (3, -2) y (4,-5) son soluciones de la
ecuación inicial.
Como muchas ecuaciones, esta tiene infinitas soluciones. El conjunto de todos los puntos
solución constituye la grafica de la ecuación, como se ilustra en la siguiente grafica.

Funciones Realesy sus graficas

Nota, aunque nos refiramos al dibujo como la grafica de 3‫ ,7 = ݕ + ݔ‬en realidad solo
representa una porción de esta. La grafica completa se extendería fuera de los límites de
esta página.
En este curso se estudiara un gran número de ayudas para la representación grafica. La más
simple consiste en dibujar puntos hasta que la forma esencial de la grafica se haga evidente.INTERSECCIONES CON LOS EJES
Dos tipos de puntos especialmente útiles son aquellos cuya coordenada “x” o “y” se anulan.
Tales puntos se denominan intersecciones con los ejes, porque son los puntos en los que la
grafica corta (se intercepta con) el eje x o el eje y. Un punto del tipo (a, 0) es una xintersección de la gráfica de una ecuación si es un punto solución de esta. Para determinar
lasx-intersecciones de una grafica, igualamos “y” a cero y resolvemos la ecuación en “x”
resultante. Análogamente, un punto del tipo (0, b) es una y-intersección de la grafica de la
ecuación si es un punto solución de la misma. Para hallar la y-intersección de una gráfica,
igualamos “x” a cero y resolvemos la ecuación en “y” resultante.
Ejemplo. Determinación de las intersecciones con los ejes x ey.
Encontrar las intersecciones con los ejes de la grafica de ‫ ݔ = ݕ‬ଷ − 4‫ݔ‬
Solución: Para determinar las x-intersecciones, igualamos "y" a cero y despejamos x
‫ ݔ‬ଷ − 4‫0 = ݔ‬
‫ݔ‬ሺ‫2 − ݔ‬ሻሺ‫2 + ݔ‬ሻ
‫2− ;2 ;0 = ݔ‬

Hacer igual a cero
Factorizar
Despejar x

2

Funciones Reales y sus graficas

Puesto que esta ecuación admite tres soluciones, se puede concluir que la grafica tienetres
x-intersecciones:
ሺ0,0ሻ; ሺ2,0ሻ; ሺ−2,0ሻ

x-intersección

Para hallar las y-intersecciones, igualamos x a cero. Resulta entonces y=0. Por tanto, la yintersección es:
ሺ0,0ሻ

y-intersección

PUNTOS DE INTERSECCIÓN
Se llama punto de intersección de las graficas de dos ecuaciones a todo punto que satisfaga
ambas ecuaciones. Los puntos de intersección de dos graficas se determinanresolviendo
sus ecuaciones simultáneamente.
Ejemplo. Determinación de los puntos de intersección
Hallar los puntos de intersección de las graficas de ‫ ݔ‬ଶ − ‫ 3 = ݕ‬y ‫1 = ݕ − ݔ‬
Solución: Sirve de ayuda comenzar por representar las graficas de ambas ecuaciones en el
mismo sistema de coordenadas rectangulares (véase la figura al final del ejercicio). Hecho
esto, se ve que las graficas poseen...