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Desarrollo
Tema 1

Sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que seplantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos enlas incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones:

Un sistema de ecuaciones sobre  puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones o cardinal del conjunto de soluciones , de acuerdo con este criterio unsistema puede ser:

Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:
Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de acumulación, .
Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman una variedad continua, .
Sistemaincompatible cuando no admite ninguna solución, .


Sistemas de ecuaciones equivalentes

 
Son aquellos que tienen las mismas soluciones o raíces, aunque posean distintos números de ecuaciones. Una de las reglas de equivalencia en los sistemas de ecuaciones es que si a ambos miembros de una ecuación les sumamos o restamos una misma cantidad (no una incógnita), dará como resultado un sistemaequivalente (de esta se pasa de un miembro a otro miembro sumando lo que resta o restando lo que se suma). También si procedemos a multiplicar o dividir a los dos miembros pertenecientes a la ecuación de un sistema por un número que sea distinto de cero, el sistema que resultará será equivalente (así lo que se multiplica a un miembro pasa a dividir al otro miembro y viceversa). A continuación observaremosalgunos ejemplos:


Una ecuación es equivalente, si a los dos miembros se les suma o resta un mismo valor:
x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
También es equivalente una ecuación si se dividen o multiplican ambos miembros por una misma cantidad:

Otro criterio a tener en cuenta serían los siguientes, por ejemplo cuando sumamos o restamos una ecuación del mismo, también se dará comoresultado un sistema equivalente. Esto sería una fusión de los dos criterios anteriores, veamos un ejemplo de esto, para pasar del sistema 1 al sistema 2 a la segunda ecuación se le ha restado la primera:


Si en un sistema de ecuaciones, una ecuación es proporcional a otra o es combinación lineal de otras, es posible eliminarla y el sistema que se obtenga será equivalente al inicial, por esto esventajoso suprimir las ecuaciones superfluas, la cuales podemos identificar con facilidad, por ejemplo, las que son nulas, proporcionales o las que sean de combinación lineal entre otras:



En este ejemplo veremos que los sistemas son equivalentes ya que se suprimió la tercera ecuación la cual era proporcional a la primera, la tercera ecuación entonces es igual a la primera multiplicada portres:



En los siguientes sistemas veremos la equivalencia puesto que se ha suprimido la segunda ecuación, ya que todos los coeficientes y también el término independiente son nulos:



Se suprime aquí la cuarta ecuación la cual era la suma de la ecuación primera más la segunda, como resultado tenemos un sistema equivalente:



Como último ejemplo tenemos los siguientes sistemas, los...