FROMULARIO Ecuaciones Diferenciales

Formulario para el primer examen parcial de Ecuaciones Diferenciales
Semestre 2013B
Grupo 09

dy
 p( x )y  q( x )
dx
 q( x )

y      p( x )dx dx  c e   p ( x )dx
 e

 p ( x )dx
Factor integrante: e

Ecuaciones lineales:
-

Ecuaciones exactas: M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
M ( x, y ) N ( x, y )

y
x
f ( x, y )
f ( x, y )
 N ( x, y )
 M ( x, y )y
y
x
-

Factor integrante: m( x )  e



1  M N 
 dx


N  y x 



y m( y )  e



1  N M 
 dy


M  x y 



Soluciones por sustitución
Ecuaciones homogéneas: M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
- Función homogénea: f (tx, ty )  t k f ( x, y )
dy
Ecuación de Bernoulli:
 P ( x )y  f ( x ) y n
dx
1 n
- wy
dw
 (1  n )P ( x )w  (1 n )f ( x )
dx
dT
 k (T  Tm )
dt
 dy   dy 
Trayectorias ortogonales:      1
 dx C1 dx C 2

Ley de enfriamiento de Newton:

Caída libre (con resistencia del aire proporcional a la velocidad): m
 razón de entrada   razón de salida 
dA


 R i  Ro  

 

dt
de la sal
de la sal

 

 razón de entrada  concentración de sal en el 

Ri 
 de la salmuera 


efluente de entrada



 razón de salida  concentración de sal en el 

Ro  
 de la salmuera 


efluente de salida




Mezclas:
-

dv
 mg  kv
dt

Formulario para el segundo examen parcial de Ecuaciones Diferenciales
Semestre 2013B
Grupo 09

e   P ( x )dx
dx
2
y1 (x)
Ecuaciones homogéneas con coeficientesconstantes
- Raíces reales diferentes: y  c1e m1x  c 2 e m2 x    c n e mn x
Segunda solución: y 2 ( x )  y 1 ( x )

-

Raíces reales iguales: y  c1e m1x  c 2 xe m1x    c n x n 1e m1x
Raíces complejas diferentes:

y  e a1x c1Cos b1x  c 2Sen b1x     e

an 2 x

c

Cos bn 2 x  c n Sen bn 2 x 

n 1

- Raíces complejas iguales: y  e a1x c1Cos b1x  c 2Sen b1x    x n 1e a1x c n 1Cos b1x  c n Sen b1x 
Operador anulador
 D n anula 1, x, x 2 ,, x n 1
n
 D    anula e x , xe x , x 2 e x , , x n 1ex


D

-

Raíces reales iguales: y  c 1 x m1  c 2 x m1 ln x    c n x m1 ln x 
Raíces complejas diferentes:





n

anula x n 1e xCos  x y x n 1e x Sen x
i
Variación de parámetros: c ' i ( x ) 
w ( y 1, y 2, , y n )
Ecuaciones homogéneas con coeficientes variables
- Raíces reales diferentes: y  c 1 x m1  c 2 x m2    c n x mn

-

2

 2D   2   2

y  x 1 c1Cos (  1 ln x )  c 2Sen (  1 ln x )    x

n 2

c

n 1

Cos (  n 2 ln x )  c n Sen (  n 2 ln x )

n 1

Raíces complejas iguales:

y  x 1 c1Cos (  1 ln x )  c 2Sen (  1 ln x )    x 1 lnx 

n 1
2

c n 1Cos (  1 ln x )  c n Sen ( 1 ln x )

2

Ecuación General del Movimiento: m

d x
dx

 kx  f (t )
2
dt
dt

Movimiento armónico simple
c
c
k
1 
2
2
2
2  , T 
,f  
, x (t )  ASen  t    , A  c 1  c 2 , Sen   1 , Cos   2 y
A
m

T 2
A
c
Tan   1
c2
Movimiento Vibratorio Amortiguado

2
2 
, Caso 3: x (t )  Ae t Sen  2   2 t   , cuasiperiodo 
,
m
 2  2



cuasifrecuencia 



(2n  1)   
n  
 2  2
2
, t
, t* 
2
2
2
2
  2
 

dq 1
d 2q
Circuitos eléctricos : L 2  R
 q  E (t )
dt C
dt

Formulario para el tercer examen parcial de Ecuaciones Diferenciales
Semestre 2013B
Grupo 09

CONCEPTO

Transformada de Laplace

EXPRESIÓN RELACIONADA

L f (t )   e st f (t )dt
0

Primer Teorema de la Traslación
Forma inversa del primer teorema de la traslación
Función escalón unitario
Segundo Teorema de la Traslación

L e f (t )  F (s  a)  F (s ) s s a
L 1F (s  a)  L 1F (s ) s s a   e at f (t )
at

0, 0  t  a
U (t  a )  
t a
1,
L f (t  a )U (t  a )  e as F (s )

L 1e as F s ...