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RESUMEN
Capítulo 1
Introducción
Las limitaciones de la mente humana son tales que no puede captar el comportamiento del complejo mundo que la rodea en una sola operación global. Por ello, una forma natural de proceder de ingenieros, científicos, e incluso economistas, consiste en separar los sistemas en sus componentes individuales, o "elementos", cuyo comportamiento pueda conocerse sindificultad, y a continuación reconstruir el sistema original para estudiarlo a partir de dichos componentes.
Para vencer la dificultad que presenta la solución de problemas continuos reales, ingenieros y matemáticos han ido proponiendo a través de los años diversos métodos de desratización. La aplicación de estos métodos hace necesario efectuar alguna aproximación de tal manera que quepa esperarque la misma se acerque, tan estrechamente como se quiera, a la solución continua verdadera a medida que crezca el número de variables discretas.
Todos estos análisis siguen un patrón general que puede adaptarse universalmente a todos los sistemas discretos. Es por tanto posible definir un sistema discreto tipo. Este capítulo se ocupa fundamentalmente de establecer los procedimientos aplicables adichos sistemas. Mucho de lo que aquí se presenta es conocido por cualquier ingeniero, pero es aconsejable en esta parte reiterar algunos conceptos. Dado que el estudio de las estructuras elásticas ha sido el campo en el que se ha desarrollado mayor actividad, presentaremos su estudio en primer lugar y seguidamente diversos ejemplos de otros campos, antes de que intentemos presentar el problema demanera general.
La existencia de una manera única para abordar los problemas discretos tipo nos lleva a la primera definición del método de los elementos finitos como procedimiento de aproximación de problemas continuos, de tal forma que:
a) el continuo se divide en un número finito de partes (elementos), cuyo comportamiento se especifica mediante un número finito de parámetros, y
b) lasolución del sistema completo como ensamblaje de los elementos sigue precisamente las mismas reglas que se aplican a los problemas discretos tipo.
Se encontrará que numerosos métodos matemáticos clásicos de aproximación se incluyen en esta categoría, así como también varios métodos de aproximaciones de naturaleza técnica. Es difícil, por tanto, hablar de los orígenes del método de los elementos finitos ydel preciso momento de su invención.
ELEMENTOS Y SISTEMAS ESTRUCTURALES
Para presentar al lector el concepto general de sistema discreto, consideraremos en primer lugar un ejemplo mecánico estructural del tipo de elasticidad lineal.
Para empezar se supondrá que mediante cálculos efectuados aparte, o mediante resultados experimentales, conocemos exactamente las propiedades de cada elemento. Asípues, si examinamos un miembro representativo como el (1) asociado a los nudos 1, 2 y 3, las fuerzas que actúan en los nudos están unívocamente definidas por los desplazamientos de tales nudos, la carga distribuida que actúa sobre el elemento (p), y su deformación inicial. Esta última puede ser debida a la temperatura, a la retracción, o simplemente a un desajuste inicial. Las fuerzas y loscorrespondientes desplazamientos se definen mediante las componentes apropiadas (£/, V y u, v) en un sistema de coordenadas cartesianas.
Expresemos en forma matricial las fuerzas que actúan en todos los nudos (3 en este caso) del elemento (1), tenemos

y para los correspondientes desplazamientos nodales

Suponiendo que el elemento presenta un comportamiento elástico lineal, la relacióncaracterística será siempre de la forma

en donde representa las fuerzas nodales necesarias para equilibrar cualquier carga distribuida que actúe sobre el elemento y f*Q las fuerzas nodales necesarias para equilibrar cualquier deformación inicial, como la que puede ocasionar un cambio de temperatura si los nudos tienen impedido todo desplazamiento. El primer término representa las fuerzas inducidas por...