FTEnunIntervalo

CAPÍTULO

4
Continuidad

1

4.3 Continuidad en intervalos
Una función es continua en un conjunto si es continua en cada punto del conjunto. Entonces,
una función es continua en un intervalo abierto .a; b/ si es continua en cada x 2 .a; b/.
Una función f es continua en un intervalo cerrado Œa; b si es continua en el intervalo abierto
.a; b/, si en a es continua por la derecha y si en b escontinua por la izquierda, o sea que
lím f .x/ D f .a/ y que lím f .x/ D f .b/.

x!aC

x!b

Definiciones análogas se dan para la continuidad de funciones en intervalos de la forma Œa; C1/
así como . 1; b.
Resultados muy importantes son los siguientes:
Una función polinomial es continua en todo R .
Una función racional es continua en todo su dominio.
La composición de funciones continuas es continua.Ejemplo 4.3.1 Obtener los intervalos de continuidad de las siguientes funciones:
1. f .x/ D x 10
2. g.x/ D
1

x6 C x2

1.

2x
.
x2 C 1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2

Cálculo Diferencial e Integral I
x2

3. h.x/ D

.
x2 1
p
4. ˇ.x/ D 3 3x 4.
5.

.x/ D

p

x3 .

p
xC5
6. ı.x/ D 3
.
x
4x
H
1. Por ser una función polinomial, f es continua en toda la recta real R .
2. Por ser una función racional,g es continua en todo su dominio que es Dg D R .
3. Por ser una función racional, h es continua en todo su dominio, que es
x 2 R x2

Dh D

1¤0

D

x 2 R x2 ¤ 1

D R

f 1; 1 g :

Es decir, h es continua en los intervalos
. 1; 1/ ; . 1; 1/ y .1; C1/ :
4. Si consideramos que ˇ1 .y/ D

p
3

y & ˇ2 .x/ D 3x

4, podemos afirmar que .ˇ1 ı ˇ2 /.x/ D ˇ.x/.

Y debido a que ˇ1 & ˇ2 son funciones continuasen todo R , entonces ˇ (por ser una composición de funciones continuas) es continua en todo R .

5. El dominio de .x/ D
D D

p

x 3 es

x2 R

x3

0

x 2 R x3 Ä 0

D

D

x2 R xÄ0

:

La función es continua en D D . 1;p0. Puede considerarse como una composición de
funciones continuas: x 3 compuesta con x.
p
xC5
6. El dominio de la función ı.x/ D 3
es
x
4x
Dı D
D

x 2 R xC5

x2 R x

D Π5; C1/
D Π5;C1/

0 & x3

4x ¤ 0

5 & x.x C 2/.x

x 2 R x.x C 2/.x
f 2; 0; 2 g :

D

2/ ¤ 0

2/ D 0

La función ı es continua en los intervalos
Π5; 2/ ; . 2; 0/ ; .0; 2/ y .2; C1/ :

2

D

D

4.3 Continuidad en intervalos

3

Ejemplo 4.3.2 Dada la función f .x/ D

x2 x 6
, obtener:
x2 4

1. Dominio, raíces e intervalos de continuidad.
2. Discontinuidades y su clasificación.
3. Asíntotas verticales yhorizontales.
4. Un bosquejo de la gráfica.
H
1. Por ser f una función racional, es continua en todo su dominio. Éste es:
Df D R

x 2 R x2

4D0

D R

x 2 R x2 D 4

D R

f 2; 2 g :

Es decir, f es continua en los intervalos
. 1; 2/ ; . 2; 2/ y .2; C1/ :
Raíces:
.x C 2/.x 3/
D 0 , x C 2 D 0 o bien x
x2 4
, x D 2 o bien x D 3 :

f .x/ D 0 ,
Pero debido a que x D
una raíz que es x D 3.

2 62 Df , entonces xD

3D0 ,

2 no puede ser raíz. Por lo tanto f tiene sólo

2. La función f es discontinua en x1 D 2 y en x2 D 2.

Para clasificar estan discontinuidades debemos indagar la existencia de los límites: lím f .x/ & lím f .x/.
x! 2

x!2

a. En x1 D 2
x2 x 6
.x C 2/.x 3/
D lím
D
2
x! 2
x! 2 .x
x
4
2/.x C 2/
x 3
2 3
5
5
D lím
D
D
D )
x! 2 x
2
2 2
4
4
5
) lím f .x/ D ) lím f .x/ sí existe.
x! 2
x! 2
4

límf .x/ D lím

x! 2

Entonces f tiene en x1 D 2 una discontinuidad removible o evitable.
¿Cómo remover o evitar la discontinuidad en x1 D 2?
5
Obtenemos que 2 … Df y que lím f .x/ D . Concluimos que la curva y D f .x/ tiene
x! 2
4
5
5
una interrupción en el punto
2;
. Es decir, el punto
2;
no pertenece a la curva.
4
4
5
La discontinuidad se remueve o se evita definiendo f . 2/ D .
4
3

4

CálculoDiferencial e Integral I
b. En x2 D 2
Como lím .x
x!2

x2 x 6
x 3
D lím
:
2
x!2
x!2
x!2 x
x
4
2
2 D 0 & lím .x 3/ D 2 3 D 1, podemos asegurar que
lím f .x/ D lím

2/ D 2

x!2

3 “
D
2
3 “
D
2

x
x!2
x!2 x
x
lím f .x/ D lím
x!2C
x!2C x
lím f .x/ D lím

1

”

1

”

0
0C

D C1;
D 1:

Por lo tanto, lím f .x/ no existe.
x!2

Luego, f tiene en x2 D 2 una discontinuidad esencial infinita.
3. Podemos...