Fuerza y movimiento

CAPITULO 1
FUERZAS Y MOMENTOS
1.1 OPERACIONES CON VECTORES
PROBLEMA 1.1 ¿Será correcto afirmar que los dos sistemas mostrados son equivalentes?

Fig. 1.1
Solución:
Para que ambos sistemas, sean equivalentes, las fuerzas del sistema I debieron estar orientadas tal
como se muestra en la figura 1.2, que lo denominaremos como Sistema III, cuyo valor de la

R III  7 2  24 2  25N

m
.coQ

ros
ib

L
w.
w

w

Fig. 1.2

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resultante lo determinamos por la ley del paralelogramo.

En consecuencia, los sistemas I y II no son equivalentes, a pesar que la resultante del sistema I tiene
la misma dirección y sentido que la fuerza única del sistema II.

PROBLEMA 1.2 Si

P  76kN y Q  52kN , determine en forma analítica la resultante de P y Q

Fig.1.3
4

Solución:
Calculamos el ángulo que forma el vector P con la vertical y el ángulo que forma el vector Q con la
horizontal.

 16 
  arctg   26,56 o
 32 
 12 
  arctg   26,56 o
 24 

Fig. 1.4

resultante se calculará por la fórmula:

  2.26,56  90  143,12 o y la

m

R  P 2  Q 2  2PQ cos   76 2  52 2  2.76.52. cos 143,12 o  46,45kN
.co

Qros
ib

Para determinar el ángulo que forma la resultante con Q, aplicamos la ley de senos (figura 1.5):

R
P

o
sen
sen36,88



.L

  79,09 o
ww

w

El ángulo que formará la resultante con el eje horizontal será de

52,53o .

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De esta manera, el ángulo que forman los vectores P y Q es

Fig. 1.5

PROBLEMA 1.3 Para la estructura mostrada en lafigura 1.6, se pide:
a) Descomponer la fuerza de 360 lb en componentes a lo largo de los cables AB y AC. Considerar

  55o y   30 o .
b) Si los cables de soporte AB y AC están orientados de manera que las componentes de la fuerza
de 360 lb a lo largo de AB y AC son de 185 lb y 200 lb, respectivamente. Determinar los ángulos

 y .
5

Fig. 1.6
Solución:
a) Como la estructura debede encontrarse en equilibrio, por lo tanto, aplicamos el triángulo de

m
.co
Q

ros
ib

L Fig. 1.7
w.los valores de las fuerzas en los cables AB y AC
Aplicamos la ley de senos y obtenemos
ww
PAB
360

0
sen30
sen95 0



PAB  180,69lb

PAC
360

0
sen55
sen95 0



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fuerzas, mostrado en la figura 1.7

PAC  296,02lb

b) Analizamos eltriángulo de fuerzas, mostrado en la figura 1.8 y aplicamos la ley de senos para
determinar los ángulos

y

Fig. 1.8
6

185
200

sen sen



360
200

o
sen 180     sen





sen  1,08sen

(a)



cos   1,08 cos   1,944

(b)

Aplicamos en la ecuación (a) el principio que
reemplazando luego

sen  1  cos 2  y sen   1  cos 2  ,

cos  de laecuación (b) en la ecuación (a), obteniendo:

  21,6 o
  19,9 o
PROBLEMA 1.4 La longitud del vector posición r es de 2,40m (figura 1.9). Determine:
a) La representación rectangular del vector posición r
b) Los ángulos entre r y cada uno de los ejes coordenados positivos
Solución:
a) Descomponemos r en dos componentes como se muestra en la figura 1.10. Por trigonometría

rz  r cos 40o  2,4 cos 40 o  1,84m

rxy  rsen 40 o  2,4sen 40 o  1,54m

om

rxy en rx y ry .c
:

Q
ros o  0,99m
rx Lxy cos 50
rb
. i
w
wwry  rxysen50o  1,18m

En forma análoga, descomponemos

Por lo tanto, la representación rectangular de r es:

r  rx i  ry j  rz k  0,99i  1,18 j  1,84k

Fig. 1.9
7

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obtenemos:

Fig. 1.10

 0,99 
r 
 x arccos  x   arccos 
  65,6 o
 r 
 2,4 

 ry
 y  arccos 
r



1,18
m 
  arccos 
.co 2,4   60,5o
 Q


 s

o
ibr
L
 1,84 
w. r 
 z  arccos  z   arccos 
  40,0 o
w r
 2,4 
w

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b) Los ángulos entre r y los ejes coordenados, los calculamos por las siguientes ecuaciones:

Dichos ángulos se muestran en la...