Fuerzas Centrales

10. Fuerzas centrales, momento angular y átomo de hidrógeno

10. FUERZAS CENTRALES, MOMENTO ANGULAR Y ÁTOMO DE HIDRÓGENO
Introducción
Nos ocuparemos ahora del movimiento de una partícula en tres dimensiones. En la Mecánica Cuántica, del mismo modo que en la Mecánica Clásica hay una clase muy importante de problemas que surgen cuando las fuerzas son centrales, esto es, cuando la energíapotencial depende sólo de la distancia r desde la partícula a un punto fijo (que tomaremos como el origen de coordenadas). El Hamiltoniano es entonces (µ indica la masa de la partícula)

H=

p2 h2 2 + V (r ) = − ∇ + V (r ) 2µ 2µ

(10.1)

Puesto que una fuerza central no produce momento respecto del origen, clásicamente se conserva el momento angular (orbital), que se define como
L=r×p

(10.2)En la Mecánica Clásica, la conservación del momento angular para problemas de fuerzas centrales tiene importantes consecuencias: la órbita de la partícula está contenida en un plano (normal a la dirección del momento angular) y se cumple la Ley de las Áreas (la velocidad areolar es constante y proporcional al módulo del momento angular). De resultas de ello, si se describe el movimiento en elplano de la órbita, el problema es separable en coordenadas polares con origen en el centro de fuerzas. Gracias a esto el análisis del movimiento en tres dimensiones se simplifica enormemente, pues queda reducido esencialmente al estudio del movimiento radial, esto es, un movimiento unidimensional bajo la acción de la fuerza central más la fuerza centrífuga (cuyo valor está determinado por elmódulo del momento angular). De acuerdo con el principio de correspondencia cabe esperar que el momento angular juegue también un rol muy importante en la Mecánica Cuántica. Veremos, en efecto, que debido a la conservación del momento angular se simplifica considerablemente la solución del problema, ya que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se separa en coordenadas polares esféricas.En consecuencia las autofunciones de la energía se pueden escribir como el producto una función de los ángulos (que depende del momento angular y no depende de la forma de la energía potencial V (r ) ) y una función radial donde está comprendida la totalidad de los efectos de V (r ) .

Propiedades del momento angular
El operador L que representa el momento angular se obtiene reemplazando p en la(10.2) por −ih∇ . Aquí no hay dificultad con operadores que no conmutan, pues en la (10.2) sólo aparecen productos como xpy , ypx , etc.. Comenzamos por obtener las relaciones de conmutación del momento angular usando las reglas de conmutación entre las componentes de r y p. Por ejemplo, es fácil verificar que

[ Lx , x ] = 0

, [ Lx , px ] = 0
(10.3)

[ Lx , y] = ihz , [ Lx , py ] = ihpz[ Lx , z ] = −ihy , [ Lx , pz ] = −ihpy

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10. Fuerzas centrales, momento angular y átomo de hidrógeno Relaciones semejantes valen para los conmutadores de Ly y Lz con las componentes de r y p. A partir de ellas podemos calcular las relaciones de conmutación de las componentes de L entre sí:

[ Lx , Ly ] = ihLz

, [ Ly , Lz ] = ihLx

, [ Lz , Lx ] = ihLy

(10.4)

El hecho que lascomponentes de L no conmutan implica que no existen en general estados en que todas las componentes del momento angular tengan valores bien definidos. Si aplicamos la relación general (8.51):

∆F∆G ≥ 1 | [ F, G] | 2
obtenemos que
h h h ∆Lx ∆Ly ≥ 2 | Lz | , ∆Ly ∆Lz ≥ 2 | Lx | , ∆Lz ∆Lx ≥ 2 | Ly |

(10.5)

(10.6)

Las (10.6) muestran que las tres componentes de L se pueden determinar conexactitud sólo si los valores esperados de las mismas son nulos, esto es si
L =0

(10.7)

Además, si las componentes de L están bien definidas se debe cumplir
∆L2 = ( L j − L j )2 = L2 = 0 , j j j = x, y, z

(10.8)

y por lo tanto para tener ∆L = 0 es preciso que además de la (10.7) se cumpla también
L2 = L2 = L2 = 0 x y z

(10.9)

En consecuencia el único estado ψ en el cual se...