Fuerzas conservativas

FUERZAS CONSERVATIVAS

Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo realizado para desplazar una partícula entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida entre tales puntos. El nombre conservativo se debe a que para un campo de fuerzas de ese tipo existe una forma especialmente simple de la ley de conservación de la energía.

CRITERIOS DE CARACTERIZACION DE UNA FUERZACONSERVATIVA
Puede demostrarse que un campo es conservativo si presenta alguna de las propiedades siguientes (de hecho si cumple una de ellas, cumplirá las otras ya que matemáticamente son equivalentes):
* Hay un campo escalar con:

donde es el gradiente del campo escalar V(r).
* El trabajo

a lo largo de un camino cualquiera S a través del campo de fuerza depende sólo de los puntosinicial y final y no de la trayectoria. En particular, el trabajo por una curva cerrada C es cero, también

* El campo es simplemente continuo y cumple la condición de integrabilidad:
. Eso significa que, si la rotación desaparece, también lo hará
Un ejemplo de fuerza conservativa es el campo gravitatorio de la mecánica newtoniana. Lo contrario a una fuerza conservativa es una fuerzano-conservativa, que realiza más trabajo cuando aumenta la longitud del camino recorrido. Un ejemplo de esto es el rozamiento. La mayoría de sistemas físicos son no-conservativos; en ellos la energía se pierde por el rozamiento o por la acción del campo de fuerzas no-conservativas. Un campo no conservativo se puede describir a través de un campo conservativo haciendo algunas consideraciones.CONSERVATIVIDAD LOCAL
Cuando se considera el criterio (3) se debe tener precaución, porque el campo de fuerza puede existir, pero la rotación la hace no conservativa. El ejemplo más conocido es el conductor eléctrico, a cuyo campo magnético asociado se lo representa como:

Aunque la condición integral se cumple, no existe la derivada en el punto cero, por lo que la región no es continua. Entonces no setrata de un campo gradiente, como puede distinguir de la integral cerrada de un círculo unitario. El círculo unitario se parametriza mediante
con .
Con eso la integral cerrada es:

Es un campo conservativo, es decir cada integral que describe un camino cerrado, con lo que se tiene que la rotación desaparece (conservatividad local). La inversión de esta afirmación no tienen ningún valorsignificativo.
POTENCIAL
El campo escalar del criterio (1) se llama potencial o energía potencial. El signo menos de este criterio es una convención y tiene un significado profundo, a pesar que su significado fue argumentado en el principio variacional de la mecánica lagrangiana y, por el momento, opera de forma voluntaria. La base de esa convención se puede aclarar por medio del siguiente ejemplo: en lacercanía de la superficie terrestre está la masa m en un potencial gravitacional a una altura h=y bajo una aceleración de la gravedad g > 0, aproximadamente v(y)= + m g y. Debido al sistema de coordenadas en la superficie terrestre es positivo cuando se dirige hacia arriba, debe ser negativo cuando se dirige hacia abajo. Se calcula la fuerza del primer criterio y se obtiene:

Esto muestra quela fuerza se ejerce, tal como se esperaba, en dirección al centro de la Tierra.
DEMOSTRACION DE EQUIVALENCIA DE LOS CRITERIOS
Existen tres criterios equivalentes para determinar si un campo de fuerzas es conservativo ((1), (2) y (3)). El primer criterio es acerca de la definición de un campo de fuerzas conservativo; los otros dos son otras formulaciones del primer criterio. Muchas veces el campode fuerzas está definido de una forma "directa" a través del segundo criterio. Así, se tiene que el trabajo en un campo conservativo es independiente del camino.
Se tiene un camino cerrado C en un campo conservativo, del punto 1 sobre el camino S1 al punto 2 luego por el camino S2 de regreso al punto 1.

Dos caminos cual quiera en un campo conservativo de fuerzas.
.
La integral cerrada...