Fuerzas conservativas

ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIÓN DE ESFUERZOS
* Fuerza Conservativa. Energía Potencial
Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores iniciales y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.
∫ A B F·dr = E pA − E pB    E p = E p (x,y,z)
El trabajo de una fuerzaconservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B.
El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.
∮ F·dr=0
Ejemplo

Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N
Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.
* La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.
* BC es el segmento de la recta que pasa porlos puntos (0,1) y (3,3) y
* CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)
 El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento
dW=F·dr=(Fxi+Fyj)·(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy

Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la trayectoria y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a través de lainterpretación geométrica de la derivada dy=f’(x)·dx. Donde f’(x) quiere decir, derivada de la función f(x) con respecto a x.
Vamos a calcular el trabajo en cada uno de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado.
 
* Tramo AB
Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)x·dx.
dW= F x dx+ F y dy=2x x 2 3 dx+ x 2 2 3 xdx= 4 3 x 3 dx W AB = ∫ 0 3 4 3 x 3 dx =27 J
* Tramo BC
La trayectoria es larecta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.
y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx
dW= F x dx+ F y dy=2x( 2 3 x+1 )dx+ x 2 2 3 dx=(2 x 2 +2x)dx W BC = ∫ 3 0 (2 x 2 +2x)dx =−27 J
* Tramo CD
La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo WCA=0
* El trabajo total
WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0
* ElPeso Es Una Fuerza Conservativa
Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es yB.

∫ A B F·dr = ∫ A B (−mg j ^ )⋅(dx i ^ +dy j ^ ) = ∫ A B −mgdy =mg y A −mg y B
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional.
E p =mgy+c
Donde c es unaconstante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía potencial.
* La fuerza que ejerce un muelle es conservativa
Como se ve, cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.

Para x>0, F=-kx
Para x<0, F=kx
El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde laposición xA a la posiciónxB es
∫ A B F·dx = ∫ A B −kxdx = 1 2 k x A 2 − 1 2 k x B 2
La función energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa F vale
E p (x)= 1 2 k x 2 +c
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.
F=−kx   E p = 1 2 k x 2CONSERVACIÓN DE ENERGÍAS
* Principio De Conservación De La Energía
Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial
∫ A B F·dr = E pA − E pB    
Como hemos visto, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre elvalor final e inicial de la energía cinética.
∫ A B F·dr = E kB − E kA    
Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la energía
EkA+EpA=EkB+EpB
La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.
Ejemplo Para la Comprobación del principio de conservación de la energía...