fuerzas distribuidaz

Estática- Fuerzas Distribuidas & Centroides

4- Fuerzas Distribuidas
Prof. JOSÉ BENJUMEA ROYERO
Ing. Civil, Magíster en Ing. Civil

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Contenido

4. Fuerzas distributivas
4.1 Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional.
4.2 Centroide de áreas y líneas.
4.3 Determinación de centroides por integración. Ejercicios.
4.4 Centroides desuperficies compuestas.
4.5 Fuerzas distribuidas. Ejercicios.

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Introducción

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4.1 Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional
- Material Homogéneo
- Espero t

Elemento diferencia dA

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𝒏

𝑾=

∆𝑾
𝒊=𝟏

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𝑥𝑖
𝒚𝒊

𝑀𝑥 =
𝑀𝑦 =

𝑦𝑖 ∗ ∆𝑊 = 𝑦𝑊
𝑥𝑖 ∗ ∆𝑊 = 𝑥 𝑊

𝒚=
𝒙=

𝒚𝒊 ∗ ∆𝑾
𝑾
𝒙𝒊 ∗ ∆𝑾
𝑾

(1)

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𝑥𝑖
𝒚𝒊

𝒚=
𝒙=

𝒚𝒊 ∗ ∆𝑾
𝑾
𝒙𝒊 ∗ ∆𝑾
𝑾

𝑑𝐴 → 0

𝒚𝑾 =

𝒚 ∗ 𝒅𝑾
(2)

𝒙𝑾 =

𝒙 ∗ 𝒅𝑾

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4.2.aCentroide de Áreas
∆𝑾 = ∆𝑨 ∗ 𝜸 ∗ 𝒕

∆𝑨

𝑦=

𝑦𝑖 ∗ ∆𝑊
𝑊

𝑦𝑖 ∗ ∆𝐴 ∗ 𝛾 ∗ 𝑡
𝑦=
𝑊∗𝐴∗𝛾∗𝑡

𝒚𝑨 =

𝒚 ∗ 𝒅𝑨

𝑦𝑖 ∗ ∆𝐴
𝑦=
𝑊∗𝐴

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𝒚𝑨 =

𝒚 ∗ 𝒅𝑨

𝒙𝑨 =

𝒙 ∗ 𝒅𝑨

(3)

El C.G. y el C.A. coinciden si :
- El material es homogéneo.
- El espesor no varía .

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𝒚𝑨 =

𝒚 ∗ 𝒅𝑨

𝒙𝑨 =

𝒙 ∗ 𝒅𝑨

𝑪¿C.G.=C.A.?

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𝑦𝐴 =

Primer Momento
de un área
[L³]

𝑦 ∗ 𝑑𝐴

𝑥𝐴 =

𝑄𝑥 =

𝑦 ∗ 𝑑𝐴

𝑥 ∗ 𝑑𝐴

(4)

𝑄𝑦 =

𝑥 ∗ 𝑑𝐴

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𝑄𝑥
𝑦=
𝐴
𝑄𝑦
𝑥=
𝐴

(5)

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Propiedades de los Primeros Momentos de un Área

- [L³]
- Puede ser (+), (-) o cero (0)
- Siun 𝑄𝑖 = 0, indica que el centroide pasa
por ese eje.

C

Eje i

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- Si 𝑄𝑥 = 𝑄𝑦 = 0, el centroide está ubicado
en el eje coordenado.
𝑦

C

El área tiene dos
ejes de simetría

𝑥

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- Si 𝑄𝑥 = 0, el área es simétrica respecto a
un solo eje.
𝑦

C

𝑥

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- x′ es un eje de simetría.
𝑥′

𝑦′

C

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- O es un centro de simetría.

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4.2.a Centroide de Líneas

𝒚=

𝒚𝒊 ∗ ∆𝑾
𝑾

𝒙=

𝒙𝒊 ∗ ∆𝑾
𝑾

(1)

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𝑦𝑊 =

𝑦 ∗ 𝑑𝑊

𝑥𝑊 =

𝑥 ∗ 𝑑𝑊

(2)

Estática- Fuerzas Distribuidas & Centroides𝑊 =𝐴∗𝐿∗𝛾

𝒚𝑳 =

𝒚 ∗ 𝒅𝑳

𝑄𝑥
𝑦=
𝐿
𝒙𝑳 =

𝒙 ∗ 𝒅𝑳

𝑄𝑦
𝑥=
𝐿

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Ejercicio 1

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Ejercicio 1a

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4.3 Determinación de Centroides por integración

𝑥𝑒𝑙 = 𝑥
𝑦𝑒𝑙 = 𝑦/2

𝑎+𝑥
𝑥𝑒𝑙 =
2
𝑦𝑒𝑙 = 𝑦

𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥

𝑑𝐴 = 𝑎 − 𝑥 𝑑𝑦
𝑄𝑥 = 𝑦𝐴 =

𝑦𝑒𝑙 𝑑𝐴

𝑄𝑦= 𝑥𝐴 =

𝑥𝑒𝑙 𝑑𝐴

2
𝑥𝑒𝑙 = rcos𝜃
3
2
𝑥𝑒𝑙 = rsen𝜃
3
1 2
𝑑𝐴 = 𝑟 𝑑𝜃
2

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Ejercicio 2
Determine el centroide del área:
a) Usando integración doble
b) Usando integración simple (elemento diferencial horizontal)
c) Usando integración simple (elemento diferencial vertical)

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Ejercicio 3Determine el centroide del área:
a) Usando integración doble
b) Usando integración simple (elemento diferencial horizontal)
c) Usando integración simple (elemento diferencial vertical)

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Ejercicio 4
Presión de viento 100 kgf/m2
Determinar el centroide de la sección en donde se debe aplicar la fuerza resultante

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