Fuerzas

Capítulo

3

Soluciones ejercicios

Ejercicio 3.1 Las cuatro fuerzas concurrentes mostradas en la¯ figura tienen ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ una resultante igual a cero. Si ¯FB ¯ = 800 N, ¯FC ¯ = 1000 N y ¯FD ¯ = 800 N determine la magnitud de FA y el ángulo α.
Y

FB

FC

70º α FA

30º 20º FD
X

o bien

Solución. Las componentes de la fuerza son X Fx = FC cos 30 + FD cos 20 − FB cos70 − FA cos α = 0, X Fy = FC sin 30 − FD sin 20 + FB sin 70 − FA sin α = 0, FA cos α = 1000 cos 30 + 800 cos 20 − 800 cos 70 = 1344. 163, FA sin α = 1000 sin 30 − 800 sin 20 + 800 sin 70 = 978. 138,

38 entonces FA = y tan α =

Soluciones ejercicios

√ 1344. 1632 + 978. 1382 = 1662. 386 N 978. 138 = 0,727 1344. 163 α = 36,04o N

Ejercicio 3.2 ¯Las ¯ ¯ magnitudes de las fuerzas que actúansobre el soporte ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ son, figura, ¯F1 ¯ = ¯F2 ¯ = 100 N. El soporte fallará si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre él excede 150 N. Determine el intervalo de valores aceptables para el ángulo α.
F1

α F2

pero F1 = F2 entonces

Solución. La magnitud de la fuerza resultante puede escribirse p (F2 + F1 cos α)2 + (F1 sin α)2 F = q 2 2 = (F2 + 2F2 F1 cos α + F1 ) √ F = F1 2+ 2 cos α

o bien F = 2F1 cos α/2 = 200 cos α/2 < 150,

39 o sea

3 cos α/2 < , 4 de modo que (limitando el problema hasta 90o ) 90o 1 α > 82. 819o y simétricamente hacia abajo. N

Ejercicio 3.3 Tres fuerzas actúan sobre la esfera mostrada en la figura. La magnitud de FB es de 60 N y la resultante de las tres es igual a cero Determine las magnitudes de FA y FC .

FA

30º

FC FBSolución. Aquí X X Fx = −FC cos 30 + FA = 0, Fy = FC sin 30 − FB = 0 = FC sin 30 − 60 = 0,

Entonces FC = 120 N FA = 120 cos 30 √ = 60 3 N N

40

Soluciones ejercicios

Ejercicio 3.4 Cuatro fuerzas actúan sobre una viga como¯ se ¯indica en la ¯ ¯ figura. La resultante de las cuatro fuerzas es cero y además ¯FB ¯ = 10000 N, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯FC ¯ = 5000 N. Determine las magnitudes de FA y FD .
FD30º FA FB FC

Solución. Para los ejes OX horizontal y OY vertical se tiene FA cos 30 − FD = 0, FA sin 30 − FB + FC = 0, o sea FA cos 30 − FD = 0, FA sin 30 − 10000 + 5000 = 0, de donde FA = FD 5000 = 10000 N, sin 30 √ = FA cos 30 = 5000 3 N. N Ejercicio 3.5 Seis fuerzas actúan sobre una viga que forma parte de la estructura de un edificio, como se indica en la figura, en los extremos, punto medio y aun cuarto de la longitud de la viga. Se sabe que la ¯resultante de ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ todas ellas es cero y que ¯FB ¯ = ¯FE ¯ = 5 kN, ¯FC ¯ = 4 kN, ¯FD ¯ = 2 kN.

Determine las magnitudes de FA y FG .

41
FG FC 70º 40º 40º FD 50º

FA

FB

FE

Solución. Similarmente −FA cos 70 − FC cos 40 + FD cos 40 + FG cos 50 = 0, FA sin 70 + FC sin 40 − FB + FD sin 40 − FE + FG sin 50= 0, y numéricamente

−FA cos 70 + FG cos 50 = 2 cos 40, FA sin 70 + FG sin 50 = 10 − 6 sin 40, de donde se resuelve FG = 10 cos 70 − 6 cos 70 sin 40 + 2 cos 40 sin 70 = 4. 088 6 kN cos 30 10 cos 50 − 6 sin 40 cos 50 − 2 cos 40 sin 50 = 3. 204 kN cos 30 N Ejercicio 3.6 Los cables A, B y C, figura, ayudan a soportar una columna de una estructura. Las magnitudes de las tensiones en los cables soniguales ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯FA ¯ = ¯FB ¯ = ¯FC ¯ y se sabe además que la magnitud de la resultantes es 200 kN. Determine la magnitud de FA .

FA =

42

Soluciones ejercicios

6m
A B C

4m

4m

4m

Solución. Llamando α, β, γ los ángulos que forman los cable con la horizontal, y T a la tensión, se tiene que Fx = T (cos α + cos β + cos γ), Fy = T (sin α + sin β + sin γ), siendola resultante p T (cos α + cos β + cos γ)2 + (sin α + sin β + sin γ)2 = 200, y los ángulos están dados por 4 6 cos α = √ , sin α = √ 2 + 62 2 + 62 4 4 8 6 cos β = √ , sin β = √ , 82 + 62 82 + 62 12 6 cos γ = √ , sin γ = √ , 122 + 62 122 + 62 de donde se obtiene T = 68. 238 kN N ˆ Ejercicio 3.7 Se tiene una fuerza F = 600ˆ − 700ˆ + 600k N. Determine ı j los ángulos entre el vector F y los ejes...