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SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS – PARTE III

3. OPERADOR GRADIENTE EM COORDENADAS CURVILÍNEAS Dada uma função escalar f (x , y, z ) , o gradiente ∇ f pode ser expresso em coordenadas curvilíneas (u 1 , u 2 , u 3 ) através de:
∇f = 1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f ˆ ˆ ˆ e1 + e2 + e3 h1 ∂ u1 h2 ∂ u2 h3 ∂ u3

(*)

onde: a) u1, u 2 , u 3 são as coordenadas curvilíneas; b)
ˆ ˆ ˆ (e1 , e 2 , e 3 ) é a baseortonormal do sistema curvilíneo;

c) h 1 , h 2 , h 3 são chamados de coeficientes métricos ou métricas, sendo dados por:
h1 = ∂r ∂r ∂r , h2 = , h3 = ∂ u1 ∂ u2 ∂ u3

ˆ onde r = x ˆ + y ˆ + z k com (x , y, z ) sendo as coordenadas cartesianas de um ponto P. i j

d) f = f (u 1 , u 2 , u 3 ) é o campo escalar no sistema curvilíneo considerado. A - GRADIENTE EM COORDENADAS CILÍNDRICAS Seja afunção escalar f = f ( r, θ, z). Em termos das coordenadas cilíndricas (r, θ, z), as ˆ ˆ ˆ coordenadas cartesianas, os vetores unitários (e1 , e 2 , e 3 ) , o vetor posição e as métricas (h1, h2, h3) são dados por:
x = r cos θ y = r sen θ z=z
ˆ r = r cos θ ˆ + r sen θ ˆ + z k i j

ˆ ˆ e1 = e r ˆ ˆ e 2 = eθ ˆ ˆ e3 = e z

h1 =

∂r ∂r ∂r = 1, h 2 = = r , h3 = =1 ∂r ∂θ ∂z
15

Deste modo, apartir de (*), o gradiente em coordenadas cilíndricas é dado por:
∇f = ∂f 1 ∂f ∂f ˆ ˆ ˆ er + eθ + ez ∂r r ∂θ ∂z

B – GRADIENTE EM COORDENADAS ESFÉRICAS

Seja a função escalar f = f(ρ, φ, θ ). Em termos das coordenadas esféricas (ρ, φ, θ ), as ˆ ˆ ˆ coordenadas cartesianas, os vetores unitários (e1 , e 2 , e 3 ) , o vetor posição e as métricas (h1, h2, h3) são dados por:
x = ρ sen φ cos θ y = ρsen φ sen θ z = ρ cos φ ˆ ˆ e1 = eρ ˆ ˆ e 2 = eφ ˆ ˆ e3 = e θ

ˆ r = ρ cos θ sen φ ˆ + ρ sen θ sen φ ˆ + ρ cos φ k i j

∂r ˆ i j = cos θ sen φ ˆ + sen θ sen φ ˆ + cos φ k ∂ρ h1 = ∂r =1 ∂ρ

∂r ˆ = ρ cos θ cos φ ˆ + ρ sen θ cos φ ˆ − ρ sen φ k i j ∂φ h2 = ∂r =ρ ∂φ

∂r = −ρ sen θ sen φ ˆ + ρ cos θ sen φ ˆ i j ∂θ h3 = ∂r = ρ sen φ ∂θ

Deste modo, a partir de (*), o gradiente em coordenadasesféricas é dado por:

∇f =

∂f 1 ∂f 1 ∂f ˆ ˆ ˆ eρ + eφ + eθ ∂ρ ρ ∂φ ρ sen φ ∂ θ

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EXEMPLO Sabendo-se que o potencial gravitacional de Newton em um ponto P, a uma distância ρ do centro de atração ( origem O), é dado por:
U(ρ) = ρ = OP −K ρ

mostre que a força gravitacional F

F=

−K ρ3

ρ

é um campo gradiente, ou seja, F = −∇ U. Resolução

No sistema de coordenadasesféricas: K = − Kρ−1 ρ As derivadas parciais em relação à (ρ, φ, θ) são: ρ U=−
∂U = + K
2

∂ρ ∂φ ρ De modo que o gradiente de U é: K ˆ ˆ ˆ ∇ U = 2 eρ + 0 eφ + 0 e θ ρ ou seja:

,

∂U

= 0,

∂U ∂θ

= 0

F = −

K ρ
2

ˆ eρ

4. DIVERGENTE EM COORDENADAS CURVILÍNEAS

Dado um campo vetorial F , através de mudança de coordenadas, o valor do divergente F = ∇ ⋅ F em um sistema decoordenadas curvilíneas de um modo geral se escreve:

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∇⋅F = onde:

 1  ∂ ( h 2 h3 F1 ) + ∂ ( h1 h3 F2 ) + ∂ ( h1 h 2 F3 )  (**)  h1h 2h 3  ∂ u1 ∂ u2 ∂ u3 

1) u1, u 2 , u 3 são as coordenadas curvilíneas; 2) h 1 , h 2 , h 3 são os coeficientes métricos; ˆ ˆ (e ,e
1

3)

2,

ˆ e 3 é a base ortonormal do sistema curvilíneo;

)

ˆ ˆ ˆ 4) F = F u 1 , u 2 , u 3 = F1 u 1 , u 2 , u3 e1 + F2 u 1 , u 2 , u 3 e 2 + F3 u 1 , u 2 , u 3 e 3 .
A - DIVERGENTE EM COORDENADAS CILÍNDRICAS

(

)

(

)

(

)

(

)

Seja o campo vetorial F expresso no sistema de coordenadas cilíndricas: ˆ ˆ ˆ F = Fr e r + Fθ e θ + Fz e z Utilizando (**) e as métricas apresentadas no item 3 para o sistema de coordenadas cilíndricas, o divergente de F é expresso por:
 1 ∂ ∂ (Fθ ) + ∂(r Fz )  div F = ∇ ⋅ F =  ( r Fr ) + r ∂ r ∂θ ∂z  ou ainda:

1 ∂F ∂F ∂F  div F = ∇ ⋅ F = Fr + r r + θ + r z  r ∂r ∂θ ∂z 

B - DIVERGENTE EM COORDENADAS ESFÉRICAS

Seja o campo vetorial F expresso no sistema de coordenadas esféricas:
ˆ ˆ ˆ F = Fρ eρ + Fφ eφ + Fθ eθ

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Utilizando (**) e as métricas apresentadas no item 3 para o sistema de coordenadas esféricas, o...