func_racionales_sol

1. Encontrar el dominio de la funci´on racional.
h(x) =

(x2

x2 − 3x − 1
− 4)(x2 + 11x + 24)

Para encontrar el dominio de una funci´on racional debemos encontrar los valores
de la variable que hacen cero el denominador.
(x2 − 4)(x2 + 11x + 24) = 0
x−2

x+2
x = −8

x+3

x + 8 = 0, entonces tenemos que

x = −3

o

o

x = −2

o

x=2

Y Domf = (−∞, −8) ∪ (−8, −3) ∪ (−3, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, +∞)

2.Encontrar los interceptos con x y y de la funci´on racional.
r(x) =

x2 − 3x − 18
x2 − 3

Para encontrar el intercepto con y, sustituimos x = 0 en la funci´on original:
r(0) =

02 − 3(0) − 18
−18
=
=6
02 − 3
−3

El intercepto con y es (0, 6).
Para encontrar el intercepto con x, sustituimos y = r(x) = 0 en la funci´on
original:
x2 − 3x − 18
0=
x2 − 3
La expresi´
on es cero cuando el numerador escero.
x2 − 3x − 18 =

0,

factorizando

(x − 6)(x + 3) =

0

entonces tenemos que x = 6 o x = −3
Los interceptos con x son (−3, 0) y (6, 0).

3. Encontrar las as´ıntotas de la funci´on racional.
f (x) =

x2 − 3x − 18
x3 − 3

Para encontrar las as´ıontotas verticales necesitamos factorizar y simplificar la
expresi´
on racional.
x2 − 3x − 18
(x − 6)(x + 3)
√
√
√
=
x3 − 3
(x − 3 3)(x2 + 3 3 x + 3 6)
1√
El denominador√es cero cuando x − 3 3 = 0 entonces tenemos una as´ıntota
vertical en x = 3 3.
Como el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador la funci´on tiene una as´ıntota horizontal en y = 0.

4. Encontrar las as´ıntotas de la funci´on racional.
f (x) =

(x2 − 1)(9x2 + 1)
16x4 − 1

Para encontrar las as´ıontotas verticales necesitamos factorizary simplificar la
expresi´
on racional.
(x2 − 1)(9x2 + 1)
16x4 − 1
(x + 1)(x − 1)(9x2 + 1)
=
(4x2 + 1)(4x2 − 1)
(x + 1)(x − 1)(9x2 + 1)
=
(4x2 + 1)(2x + 1)(2x − 1)

f (x) =

El denominador es cero cuando 2x + 1 = 0 o 2x − 1 = 0 entonces tenemos
as´ıntotas verticales en x = −1/2 y x = 1/2.
Para encontrar posibles as´ıntotas horizontales u obl´ıcuas debemos expandir
el numerador y el denominador.(x2 − 1)(9x2 + 1)
9x4 − 8x2 − 1
=
16x4 − 1
16x4 − 1
Como los grados del numerador y el denominador son iguales, la funci´on tiene
una as´ıntota horizontal en el cociente de los coeficientes principales del numerador y el denominador, en este caso y = 9/16
f (x) =

5. Encontrar las as´ıntotas de la funci´on racional.
f (x) =

(x2 − 1)(x + 3)(x + 5)
x3 − 1

Para encontrar las as´ıontotas verticalesnecesitamos factorizar y simplificar la
expresi´
on racional.
(x2 − 1)(x + 3)(x + 5)
x3 + 1
(x − 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5)
=
(x + 1)(x2 − x + 1)
(x − 1)(x + 3)(x + 5)
=
x2 − x + 1

f (x) =

2

Como el denominador, despue´es de simplificar, no se hace cero para ningn valor
de x la funci´
on no tiene as´ıntotas verticales.
Para encontrar posibles as´ıntotas horizontales u obl´ıcuas debemos expandir
elnumerador y el denominador.
(x − 1)(x + 3)(x + 5)
x2 − x + 1
2
(x + 2x − 3)(x + 5)
=
x2 − x + 1
3
x + 7x2 + 7x − 15
=
x2 − x + 1

f (x) =

Como el grado del numerador es un grado mayor que el del denominador la
funci´
on tiene una as´ıntota obl´ıcua, para encontrarla hacemos divisi´on larga de
la expresi´
on
x +8
2

x −x+1

3

2

x + 7x + 7x − 15
− x3 + x2 − x
8x2 + 6x − 15
− 8x2 + 8x − 8
14x −23

Entonces la funci´
on la podemos reescribir como:
f (x) = x + 8 +

14x − 23
x2 − x + 1

De esta manera cuando x → +∞ tenemos que f (x) → x + 8. Y la as´ıntota
obl´ıcua es y = x + 8

6. Haga un bosquejo de la grfica de f (x) =

x+1
.
(x − 3)(x + 4)

Para encontrar el dominio igualamos el denominador a cero:
(x − 3)(x + 4) = 0, entonces
x = −4 o x = 3 entonces
Domf = (−∞, −4) ∪ (−4, 3) ∪ (3, ∞)Como la expresi´
on ya est´a factorizada y simplificada, las as´ıntotas verticales
est´
an en los puntos donde el denominador es cero.
AV: x = −4

y x=3

3

Como el grado del denominador es mayor que el grado del numerador la
funci´
on tiene una as´ıntota horizontal en y = 0.
El intercepto con y lo encontramos al sustituir x = 0,
f (0) =

0+1
1
=
(0 − 3)(0 + 4)
−12

Por lo tanto el intercepto...