Función compuesta

1.- Introducción
Hasta ahora, se ha estudiado la relación existente entre una(s) variable(s) dependiente(s) y n variables "independientes" xi (explicativas):
f: D Rn  Rm
(x1, x2, ...,xn)  f(x) = y = (y1, y2, ..., ym)

De esta forma, para distintos valores de las variables "independientes" xi, se determinaba el correspondiente valor de la(s) variable(s) dependiente(s), ofenómeno explicado, y.
Con el uso de derivadas parciales se estudiaba el comportamiento del fenómeno explicado, y, frente a variaciones infinitesimales de las variables independientes. La variación de yfrente a cambios ínfinitesímales de x, viene dado por y/xi. Ahora bien, en muchos problemas económicos esta relación no es tan directa. Muchas veces, estas variables explicativas, xi, dependen a suvez de otras variables independientes:
xi = gi (t1, t2, ..., tp)
De forma que las variaciones de y dependerán pues, en última instancia, de las variables tj, mientras que las variables xi sólo actúancomo transmisoras de dichas variaciones de tj, dando lugar a lo que se conoce como función compuesta.
Supóngase una empresa donde B(y) representa la función de beneficio . Dicha empresa produce unúnico artículo, x, a partir de un único input, t, con un margen de 10 unidades monetarias por artículo y se sabe que para producir un artículo se requiere 0.5 unidades de input. Así la variación delbeneficio, si varían los ínputs contratados, será dB/dt = B/t.
B(x) = 10x / B: R  R
x(t) = 2t / x: R  R

El beneficio dependerá en última instancia de t:

La derivada de B respecto al input t:B'(t)= 20.
En el ejemplo que se acaba de plantear se ha obtenido la función compuesta que relaciona el beneficio con la variable t. No obstante, en general, la obtención de la función compuestaresulta compleja. Sin embargo, se dispone de un teorema conocido como regla de la cadena que proporciona un método operativo para obtener la tasa de variación de la variable dependiente ante...