Función cuadrática teoría

UNIVERSIDAD FASTA
LICENCIATURA EN HIGIENE Y SEGURIDAD EN EL TRABAJO

LA FUNCION CUADRATICA
Sea f:R R
La función cuadrática es de la forma
f(x)= ax2 + bx +c

con a, b, c

R y a≠0

La gráfica asociada a la función cuadrática es siempre una parábola de eje de
simetría vertical.
Coeficientes de f(x):
 a: coeficiente cuadrático
 b: coeficiente lineal
 c: término independiente (ordenada al origen)c

Las coordenadas del Vértice
El vértice divide a la parábola en dos “ramas” simétricas respecto de la recta
paralela al eje “y” que pasa por el vértice. Es importante su determinación a los
efectos de realizar la gráfica.
La abscisa del vértice se puede calcular mediante la siguiente fórmula

xv  

b
2a

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para calcular laordenada del vértice basta ,con calcular la imagen de xv para la
función dada

es decir

 b 
yv  f   
 2a 

Ejemplo
Sea f(x)= x2 – 2x + 1, entonces xv= 

2
= 1,
2.1

Luego y(xv)= 12 – 2.1 + 1 = 0, en consecuencia V = (1,0)
El eje de simetría es x = xv (recta paralela al eje y),
en este caso será x = 1.
En los siguientes videos se puede ver un ejemplo de análisis de función cuadrática y laobtención del vértice:

http://www.youtube.com/watch?v=0pUnHF1FJ2s
http://www.youtube.com/watch?v=Z_jI-N1NIeI

Concavidad de la parábola
El coeficiente cuadrático “a” determina la concavidad de la parábola.
 Si a > 0, es cóncava hacia arriba
 Si a < 0, es cóncava hacia abajo

a<0

a >0

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En el primer caso resulta que elvértice es el punto mínimo de la parábola y en el
segundo caso el vértice es el máximo de la curva.
Las raíces de la función cuadrática
Decimos que “r” es raíz de f(x)= ax2 + bx + c

si y solo sí f(r)=0

Geométricamente, las raíces son las intersecciones de la curva con el eje x.
¿Cómo las calculamos?
Basta con hacer f(x)=0 y resolver la ecuación
conocida fórmula:

ax2 + bx + c =0

utilizando la

 b b2  4 a c
x
2a

Clasificación de las raíces
2 raíces reales distintas

X1
X1



X2

1 raíz doble

X1 = X2
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

2 raíces complejas

En el video se muestra la obtención de las raíces de una función cuadrática

http://www.youtube.com/watch?v=klfx35lUALU
Se puede “predecir” si la función cuadrática en cuestión corta al eje x enun solo
punto (raíz doble); en dos puntos (raíces reales distintas); o en ninguno (raíces
complejas) analizando el discriminante de la función:
= b2 – 4ac

ocurre que:



Si

>0

raíces reales y distintas ( x1



Si

=0

raíces reales iguales ( x1 = x2 )



Si

0

x2)

raíces complejas

Representaciones alternativas de la función cuadrática
Además de la forma polinómica, se puede expresar unafunción cuadrática en
forma canónica y en forma factorizada.

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Forma canónica
f(x)= a.(x-xv)2 + yv
donde a es el coeficiente cuadrático, (xv, yv) son las coordenadas del vértice.
La forma canónica permite “leer” a simple vista las coordenadas del vértice. Por
Ejemplo: f(x)= 2(x+3)2+5
Es la función cuadrática de vértice (-3,5)Se muestra a continuación como llegar a la forma canónica de la función cuadrática.

http://www.youtube.com/watch?v=Hu_Gm12OFMg

Forma factorizada
F(x)= a. (x-x1). (x-x2)
donde a es el coeficiente cuadrático, y x1 y x2 las raíces reales.
Por ejemplo: f(x)= -3.(x-2).(x+3/2), es la expresión factorizada de una función
cuadrática cuyas raíces son x1=2 y x2=-3/2
Se muestra a continuación como llegar ala forma factorizada de la función cuadrática

http://www.youtube.com/watch?v=uG37AixcYrg

Resumiendo los conceptos vistos hasta aquí:
Función polinómica

f(x) = ax2 +bx +c

Función canónica

f(x) = a.(x-xv)2 + yv

Función factorizada

f(x) = a.(x-x1).(x-x2)

Ejemplos
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1. Realice el estudio completo de f(x)= -x2 + 4x -3...