Función Cuadrática

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| MATEMÁTICA 4° AÑO |
|GUÍA N° 4 - ECUACIÓN CUADRÁTICA – FUNCIÓN CUADRÁTICA|

Función Cuadrática:
Es toda función de la forma: f(x) = a x² + b x + c con a , b , c números Reales

Puede suceder que b ó c sean nulos, por ej:
f(x) = ½ x² + 5 f(x) = – 5 x² – ¾
Pero a no puede ser = 0 , de los contrario no se trataría de una función cuadrática.
Las Funciones cuadráticas se grafican en un sistema de ejescartesianos, por ahora, construyendo una tabla de valores. Por ejemplo: f(x) = x² + 3
[pic]
Podemos resumir lo visto en:
[pic]
Ejercicio 1:
[pic]


Más adelante estudiaremos la Función Cuadrática y su representación gráfica. Por ahora trabajaremos con la Ecuación Cuadrática asociada a ella.



Ecuaciones Cuadráticas:

y = a x² + b x + cForma polinómica

Término cuadrático término lineal término independiente

Para resolver una ecuación cuadrática, podemos aplicar procedimientos ya conocidos: Consideremos los siguientes casos:

a) Si el término lineal es nulo:
Ej: – 3 x² + ⅓ = 0 a = ......... b = .......... c = ........


Podemos despejar x: ………………………………………………………………………
x₁ = ............. x₂ = ...............

b) Si el término independiente es nulo:
Ej : 3 x² + 2 x = 0 a = ......... b = ........... c = .........


Podemos extraer factor común x, x ( 3 x + 2 ) = 0
Teniendo 2 factores igualados a 0, necesariamente uno de los factores debe ser ...............
Por lotanto planteamos: x₁ = 0
3 x + 2 = 0 3 x = – 2 x₂ = – 2/3

c) Si la ecuación es completa:
Ej : x² + 2 x – 3 = 0 a = ........ b = .......... c =..........


Utilizamos una fórmula que nos permitirá obtener las soluciones x₁ y x₂, reemplazando los coeficientes a, b y c en ella:

FÓRMULA RESOLVENTE: [pic]Como en esta fórmula hay una raíz cuadrada, si el radicando (llamado Discriminante) es negativo, la ecuación que intentamos resolver no tiene solución en el conjunto de los números reales.

Resolvamos el ej: x² + 2 x – 3 = 0
Reemplazamos en la fórmula resolvente: x₁,x₂ =

Operamos: x₁,x₂ =

El símbolo ± indica que una de las soluciones se obtiene usando el + y la otrausando el – :
x₁ = ________ =
x₁,x₂ = _______
x₂ = ________ =

Ejercicio 2: Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas(es decir, hallar sus raíces):

a) x² – x – 6 = 0 b) x² – 4 x = 0 c) x²– 4 x + 4 = 0
d) x² – 3 x – 10 = 0 e) – 2 x² + 16 x – 34 = 0 f) 3 x – x² = 0
g) x² – 2 = 0 h) – x² – 2 = 0 i) x – ½ x² = x² + 2
j) – 9 x² + 6 x + 3 = 0 k) 3 x² – 2 x –1 = 0 l) 3 ( x – 5 ) ( x + ½ ) = 0
m) x² = 0,01 n) ½ x² – 5 x = 0 o) ( x – 1 ) ( x + 3 ) = – ½ x
Ejercicio 3: Problemas que se resuelven aplicando ecuaciones cuadráticas:

1) ¿Cuál es el número natural que sumado al cuadrado de su consecutivo, da 109?
2) La suma de dos números es 8, y su producto es 15 ¿Cuáles son esos números?
3) La suma de dos números enteros es 14, y larazón de sus cuadrados es 64 ¡Cuáles son esos números?
4) ¿Cuál es el número tal que la mitad del producto de dicho número por su consecutivo, es igual a 136?
5) El producto de dos números consecutivos, disminuido en 42, es igual a 68 ¿Cuáles son esos números?
6) ¿Cuál es el número que cumple que el duplo de su cuadrado, menos 20, es igual al triplo del número?
7) Determinar los...