Función de Green


UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA


MÉTODOS MATEMÁTICOS I


DR. JORGE HERNÁNDEZ


FUNCIONES DE GREEN


MAESTRÍA EN CIENCIAS FÍSICAS


2013


Resumen

En este trabajo se exponen la teoría de la función de Green y algunas de sus aplicaciones físico-matemáticas.
Desde su aparición en 1825, la Función de Green se ha convertido en unaherramienta eficaz para solución de ecuaciones diferenciales no homogéneas bajo ciertas condiciones de contorno. La función de Green ha demostrado ser útil en varios aspectos de la física clásica. Gracias a George Green, su creador, fue posible transformar los problemas con valores de frontera en forma de ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales utilizando funciones kernels de integración,conocidos ahora como funciones de Green. La importancia del método de la Función de Green consiste en su simplicidad para su aplicación en sistemas físicos gobernados por ecuaciones diferenciales.
El tema de las funciones de Green y sus aplicaciones al campo de la ciencia y tecnología es un tema permanente de investigación, pero esto requiere gran capacidad matemática y fuertes conocimientos de lafísica del problema que desee abordar.




1. Introducción
La función de Green ha constituido desde 1825 una fuerte herramienta de la física-matemática para resolver, en un principio, problemas de electrostática hasta abordar materia condensada hoy en día.
Estas funciones deben su nombre al físico inglés George Green a inicios del siglo XIX, fue el que transformó los problemas con valores enla frontera en forma de ecuaciones diferenciales a funciones integrales a través de funciones Kernel, hoy conocidas como funciones de Green[1]. Posteriormente, gracias a los trabajos del físico británico Paul Dirac por medio de su función delta, los adelantos en la utilización de las funciones de Green han beneficiado a la ciencia e ingeniería en general. El concepto de función de Green, esimportante para resolver sistemas físicos de la naturaleza que pueden ser expresados por ecuaciones matemáticas de tipo lineal. Por su versatilidad, sencillez y gran rango de aplicaciones, el tema de la función de Green será motivo permanente de aplicación a la física y la ciencia en general.






2. Fundamento Teórico
2.1. Definición
La función de Green G(x,s) de un operador lineal que actúasobre la distribución:
L =L(x)
definida en Rn , es solución de:
LG(x,s)= -δ(x,s)
donde δ es la delta de Dirac. Se puede utilizar para resolver los problemas diferenciales de forma:
Lu(x)= f(x)
Si el núcleo L no es trivial entonces la función de Green no es única, aunque en la práctica una combinacion de las simetrias del problema, las condiciones de contornos y otros criterios practicosexternos nos proporcionan una unica funcion de Green.
La función de Green usualmente no es una función matemática ordinaria sino que puede ser una ditribución o función generalizada. No cualquier operador lineal L admite la función de Green. Son muy útiles en materia condensada donde permiten resolver la ecuación de difusión y en mecánica cuántica, para el desarrollo de la teoría cuántica decampos.


2.2. Planteamiento de la función de Green
Consideremos una ecuacion diferencial lineal escrita de la forma del problema de Sturm-Liuville
L(x)u(x)= - f(x)
donde L(x) es un operador lineal autoadjunto u(x) es una función desconocida y f(x) es un término no homogéneo y L actúa en un dominio que satisface ciertas condiciones de borde. La solución del problema puede ser escrita de la forma:u(x)= - L-1 f(x)
donde L-1 es el operador inverso de L(x) y L satisface:
LL-1=L-1L=I
I es el operador identidad. El operador Inverso se puede definir por:

donde el kernel G(x,s) es la función de Green asociada al operador diferencial L[2]. El operador identidad I corresponde a la delta de Dirac. De acuerdo a las propiedades de la delta, la función de Green satisface:

Para que una...