función de una variable

Prof. Susana López

1
Universidad Autónoma de Madrid

TEMA 2: FUNCIONES DE UNA VARIABLE
1

Definición y clasificación de funciones reales de una
variable real

Definición 1 Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A como
máximo un único elemento, llamado f (x) , de un conjunto B.

f
A

B

Diagrama de flechas para f
Por ejemplo, el área de unacírculo es una función de su radio:
A = πr2
Si C representa la temperatura en grados centígrados, sabemos que existe una relación con
la temperatura medida en grados Fahrenheit, F :
C=

5
(F − 32)
9

En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un número (r, F, t, x...)
se asigna otro número (A, C, w, y, ...). En cada caso diremos que el segundo número es funcióndel primero.
Por lo general, consideraremos funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos
de números reales, R, pero estos conjuntos pueden estar formados por elementos muy diferentes,
como por ejemplo números enteros, Z, o naturales, N, matrices, polinomios...
Al subconjunto de A formado por aquellos elementos para los cuales existe una imagen se
le denomina dominio de lafunción, Dom (f ).

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Definición 2 Dada una función f : R → R definimos el dominio de la función como
Dom (f ) = {x ∈ R para el cual existe un y ∈ R tal que y = f (x)}
El número f (x) es el valor que toma la función f en el elemento x.
Definición 3 La imagen o rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f (x),
conforme x varía en el dominio Dom (f ) .
Img (f) = Rang (f ) = {y ∈ R para el cual existe un x ∈ Dom (f ) tal que y = f (x)}
Si f es una función, se designa a veces por y el valor de f en x :
y = f (x)
En esta situación a x se le denomina variable independiente, o argumento de f, y a y se
le denomina variable dependiente, ya que su valor depende del valor de x.
Si se define una función por medio de una fórmula algebráica, adoptamos elconvenio de
que el dominio consta de todos los valores de la variable independientes x para los cuales la
fórmula tiene sentido (a menos que se mencione explícitamente otro).
Toda función dada por una ecuación de la forma y = f (x) tiene una representación gráfica.
La gráfica de f consta de todos los puntos (x, y) en el plano de coordenadas, tales que y = f (x)
y x está en el dominio de f.Gráfica de f = {(x, f (x)) | x ∈ Dom (f )}
y

10
7.5
5

4

y

2.5
0
-5

3

-2.5 0
-2.5

2.5 5

2

x

1

-5

0

-7.5

-4

-2

0

2

4

-10

x
-12.5

y = 2x − 1

y=
0

y

y

1.25

√
16 − x2
2.5

0

25

-5
12.5

-10

0
-2.5

-1.25

-15
0

1.25

2.5
-20
x

-12.5

-25
-30

-25

y=

1
x2 −2

y = ln x

3.75x
5

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3

y

20

15
y
3.75
10
2.5
1.25
5

0
-4

-2

0

2

0
-5

4
x

-2.5

0

2.5

5
x

³

y=e

1.1

1
x2 −9

´

y=

√
x2 − 1

Funciones polinómicas

Una función P (x) recibe el nombre de polinomio si:
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0
donde n es un entero no negativo que representa el grado delpolinomio y los números
a0 , a1 , a2 , ..., an−1 , an son constantes reales denominadas coeficientes del polinomio. Dado
cualquier polinomio su dominio siempre es todo R.
1.1.1

Funciones lineales

Un polinomio de primer grado es de la forma
P (x) = ax + b
y establece una relación lineal entre las variables x e y = P (x) . El número a se denomina
pendiente de la recta y nos indica cuantovaría la variable y cuando la variable x aumenta
una unidad.
P (x + 1) − P (x) = a (x + 1) + b − (ax + b) = ax + a + b − ax − b = a
mientras que b representa el corte de la recta de ecuación y = ax + b con el eje Y.
Cuando consideramos una función lineal, la razón de cambio o tasa de variación de la función
cuando x aumenta h unidades es un múltiplo de la pendiente de la recta a:
P (x +...