función de varias variables

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 4. Funciones de varias variables. Derivadas parciales.

1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad.
En el análisis de los problemas de la ciencia y de la técnica, las cantidades que se estudian dependen, generalmente, de dos o más variablesindependientes. Por tanto, necesitamos extender las ideas
básicas del cálculo de funciones de una variable a funciones de varias variables. Esta lección la dedicaremos al cálculo diferencial de funciones que dependen de dos o tres variables y que toman
valores en , llamados campos escalares, o bien en 2 o 3 , llamados campos vectoriales.
DEFINICIÓN. Una función escalar de dos variables f : ( x, y ) ∈ U⊆ 2 → f ( x, y ) ∈ es una regla
f que asigna a cada punto ( x, y ) de un conjunto U ⊆ 2 un único número real f ( x, y ). El conjunto U se llama dominio de definición de la función. Estas funciones también se llaman campos escalares de dos variables.
Aunque trabajaremos esencialmente con funciones de dos variables, casi todo lo que digamos puede
extenderse de manera natural a funciones de tresvariables, es decir, funciones
f : ( x, y , z ) ∈ U ⊆
definidas en subconjuntos de

3

3

→ f ( x, y , z ) ∈

que se llaman campos escalares de tres variables.

EJEMPLO. Las funciones de varias variables más simples son los polinomios. Una función polinómica de dos variables ( x, y ) es una suma de monomios de la forma a x m y n , donde m y n son números naturales y a es un número realno nulo. La suma m + n se llama grado del monomio y se llama
grado del polinomio al máximo grado de sus monomios. Por ejemplo,

f ( x, y ) = 3x3 y 2 − 2 xy 2 + 3 xy − 2 x + 7 y − 2
es un polinomio en dos variables de grado 5 y f ( x, y, z ) = 1 + x + y 3 + xyz + z 2 y es un polinomio de
grado tres en tres variables.
Dominio de un campo escalar. De forma análoga a lo que sucede parafunciones de una variable,
entenderemos que el dominio de una función de varias variables, dada por una o varias fórmulas, es
el conjunto más grande donde dichas fórmulas tienen sentido.

EJEMPLO. 1) El dominio de un polinomio de dos variables es todo el plano
polinomio de tres variables es todo el espacio 3 .

2

y el dominio de un

2) El dominio de la función f ( x, y ) = log(1 + x − y ) estáformado por los puntos ( x, y ) del plano
tales que 1 + x − y > 0; es decir, es un semiplano.
3) El dominio de la función f ( x, y ) =
origen de coordenadas, es decir,

2

1
está formado por todos los puntos del plano salvo el
x + y2
2

− {(0,0)} .

4) El dominio de la función f ( x, y ) = 1 − x − y está formado por los puntos ( x, y ) del plano
tales que x + y ≤ 1, es decir, elrombo con vértices en los puntos (1, 0), (0,1), ( −1, 0) y (0, −1).

1

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Lección 4. Funciones de varias variables. Derivadas parciales.

5) La función de tres variables f ( x, y, z ) = log(1 − x 2 − y 2 − z 2 ) está definida para puntos ( x, y, z )
tales que x 2 + y 2 + z 2 < 1; es decir, sudominio es el interior de la esfera unidad de

3

.

Los dominios de las funciones de una variable son, casi siempre, intervalos de . Los dominios de
las funciones de varias variables pueden ser conjuntos más complicados, como acabamos de ver. A
la hora de trabajar en dominios que son subconjuntos de 2 o 3 será necesario distinguir entre
puntos interiores al dominio y puntos de su frontera.DEFINICIÓN. Se dice que un punto P es interior a un conjunto U ⊆ 2 si existe un círculo (o disco)
centrado en P y de radio r > 0 que está contenido en U . Se dice que un punto P está en la frontera de un conjunto U ⊆ 2 si cualquier círculo centrado en P contiene puntos de U y puntos que
no están en U . Los puntos de la frontera de U no son necesariamente puntos de U . Los puntos
interiores...