Función exponencial y logarítmica

Función Exponencial y Logarítmica
Observación
Los logaritmos fueron muy usados en el pasado para hacer cálculos
numéricos. Ahora, sin embargo, este uso primitivo ha sido reemplazado
ampliamente por las calculadoras. Las aplicaciones analíticas de los
logaritmos en cálculo y en otras áreas de la matemática, han continuado
siendo de gran valor.

Definición
Llamaremos función exponencial debase , , con , − ‘
a la función que denotaremos por /B:, donde
/B:, À ‘qqqqqp‘
Bqqqqqp ,B
Observación
Dada la función /B:, se tiene:
Si ,  " , entonces

/B:, À ‘qqqqqp‘
Bqqqqqp ,B

es una función biyectiva y estrictamente creciente .
su gráfico es

1

Ejemplo
/B:2 À ‘qqqqqp‘
Bqqqqqp #B
función biyectiva ,estrictamente creciente donde, su gráfico es

Observación
Dada lafunción /B:, se tiene:
Si !  ,  " , entonces /B:, À ‘qqqqqp‘
Bqqqqqp ,B
es una función biyectiva y estrictamente decreciente .
su gráfico es

2

Ejemplo
/B: " À ‘qqqqqp‘
#

Bqqqqqp ˆ " ‰
#

B

función biyectiva ,estrictamente decreciente donde, su gráfico es

Observación
Dada la función /B:, se tiene:
Si , œ " ß entonces /B:" es constante y por lo tanto no es biyectiva .su gráfico es

Observación
De lo anterior se tiene que, si , − ‘ ÏÖ"× entonces la función
exponencial de base , es biyectiva, luego existe inversa,por ello

3

Definición
Sea , − ‘ ÏÖ"× ,se tiene que
/B:, À ‘ qqqqqp ‘
B qqqqqp ,B

es una función biyectiva

y por tanto admite inversa. Esta inversa recibe el nombre de
Función Logaritmo en base , y se denota por :
691, À ‘qqqqqp ‘
función biyectiva
B qqqqp 691, ÐBÑ
Observación
1.- se tiene que

C œ 691, ÐBÑ Í /B:, ÐCÑ œ B Í ,C œ B
691, ÐBÑ

œ B ß aB − ‘

2.-

/B:, Ð691, ÐBÑÑ œ B Í ,

3.-

691, Ð/B:, ÐBÑÑ œ B Í 691, Ð,B Ñ œ B

ß aB − ‘

Observación
1.-

Si , œ "!
se adopta el convenio de escritura
luego

691"! ÐBÑ œ 691ÐBÑ

691 À ‘ qqqqqp‘
B qqqqqp 691ÐBÑ

y se le llama logaritmodecimal .
2.-

Cuando , œ / œ #ß (")#)")#ÞÞÞ
se adopta el convenio de escritura
luego

691/ ÐBÑ œ 68ÐBÑ

68 À ‘ qqqqqp‘
B qqqqqp 68ÐBÑ

y se le llama logaritmo natural .
4

3.-

La función exponencial en base , œ /
/B:/ À ‘ qqqqqp ‘
B qqqqqp /B
y se le llama función exponencial.

Teorema
Sean B ß C − ‘ à + ß , − ‘ ÏÖ"× à - ,D − ‘ Þ
Entonces se verifica :

1.- 691+ ÐB † CÑœ 691+ ÐBÑ  691+ ÐCÑ
2.-

691+ Š B ‹ œ 691+ ÐBÑ  691+ ÐCÑ
C

3.- 691+ ÐB- Ñ = - † 691+ ÐBÑ
4.-

691+ ÐBÑ œ

691, ÐBÑ
691, Ð+Ñ

5.- +D œ ,D†691, Ð+Ñ
Demostración
Sean 691+ ÐBÑ œ Q ß 691+ ÐCÑ œ R
con lo cual , se tendra que À B œ +Q ß C œ +R
luego:
1.- 691+ ÐB † CÑ œ 691+ Ð+Q † +R Ñ œ 691+ Ð+Q R Ñ œ Q  R
œ 691+ ÐBÑ  691+ ÐCÑ
2.-

691+ Š B ‹ œ 691+ Š + R ‹ œ 691+ Š+Q R ‹œ Q  R
C
+
Q

œ 691+ ÐBÑ  691+ ÐCÑ

5

3.- 691+ ÐB- Ñ œ 691+ ÐÐ+Q Ñ- Ñ œ 691+ Ð +-Q Ñ œ -Q
œ - † 691+ ÐBÑ
4.-

se tiene que
691+ ÐBÑ œ M Í B œ +Q Í 691, ÐBÑ œ 691, Ð+Q Ñ
Í 691, ÐBÑ œ Q † 691, Ð+Ñ Í Q œ 691,,ÐBÑ
691 Ð+Ñ
Í 691+ ÐBÑ œ

691, ÐBÑ
691, Ð+Ñ

D

5.- se tiene que +D œ ,691, Ð+ Ñ œ ,D†691, Ð+Ñ

Observación
se tiene que
1.- 691$ Ð'BÑ œ 691$ Ð' Ñ  691$ Ð BÑ
(2.- 691% Š #B ‹ œ 691% Š(‹  691% Š#B‹ œ 691% Š(‹  691% Š# ‹  691% Š B‹

3.- 691# ÐB' Ñ œ '691# ÐBÑ
691$ Ð&CÑ
691$ Ð*Ñ

4.- 691* Ð&CÑ =

=

691$ Ð&CÑ
691$ Ð&CÑ
691$ Ð$# Ñ =
#

5.- (B œ /68Ð( Ñ œ /B68Ð(Ñ
B

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Ejemplo
I.-

Resolver en los reales las siguientes ecuaciones

1.-

&B"  " œ #%

Solución
Restricciones V œ ‘ , si B − V
&B"  " œ #% Í &B" œ #& Í &B"œ &# Í B  " œ # Í B œ "
luego W œ Ö"×
2.- #B  #B$ œ *
Solución
Restricciones V œ ‘ , si B − V
#B  #B$ œ * Í #B  ) † #B œ * Í * † #B œ *
Í #B œ " Í #B œ #! Í B œ !
luego W œ Ö!×
3.-

$#B  #( œ "# † $B

Solución
Restricciones V œ ‘ , si B − V
$#B  #( œ "# † $B Í $#B  "# † $B  #( œ !
Í Ð$ B Ñ#  "# † Ð$B Ñ  #( œ ! Í $B œ
Í $B œ

"#„'
#

"#„È"%%"!)
#

Í $B œ * ”...