Función inversa

PROF(A). MARÍA T. DIANES

INVERSA DE UNA FUNCIÓN

Si F es una función, la función F’ esta definida por:
(a, b) [pic] F [pic] (b, a) [pic] F’ y (a, b) [pic] F [pic](c, b) [pic] F [pic] a = c
es llamada la inversa de F. Es decir, la inversa de una función F es la función F’ que se obtiene intercambiando las componentes de cada una de los paresordenados de F. Sin embargo, esto no funciona siempre, ver los siguientes ejemplos:

1. Ejemplo: Si F = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, -2) } encontrar la inversa de F.F’ = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (-2, 4) }

2. Ejemplo: Tomemos ahora como F el conjunto F = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) }, encontrar la inversa de F.
F’ = { (2, 1), (4,2), (-1, 3), (2, 4) } ,

Esto no es una función, pues F’ (2) no está determinado de forma única; es decir, F’ no cumple la condición de función porque existen dos pares {(2,1) y (2, 4)} con la misma preimagen.

FUNCIÓN INVERSA

Método para hallar la Función Inversa
Aunque existen varios métodos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudana obtener la función inversa de f(x).

Procedimiento:
1. Se sustituye f(x) por y que es la función dada.
2. Se intercambian x y y para obtener x = f(y)
3. Sedespeja la variable y.
4. En la solución se escribe f -1(x) en vez de y.

Nota:
i) La notación f-1 se refiere a la función inversa de f y no al exponente −1 usado para númerosreales. Únicamente se usa como notación de la función inversa.
ii) La función inversa cuando existe, es única.

1. Ejemplo: f(x) = 2 * x
1) Se sustituye f(x) por y;entonces [pic]
2) Cambiamos la x por la y, nos queda entonces [pic]
3) Despejamos la y, nos queda entonces [pic]
4) Por tanto la función inversa de f(x) = 2 * x es [pic]