Función inyectiva

Ayudante Ignacio Trujillo Silva

Matemática 1 D-2

Guía de ejercicios resueltos 2° Prueba Matemática 1
Programa Académico de Bachillerato Universidad de Chile

Ayudante Ignacio Trujillo Silva

Matemática 1 D-2

Supremos e Ínfimos
Preposición 1: Si s es cota superior de A y además s pertenece a A, implica que s es Máximo y Supremo de A. Preposición 2: Si s es cota inferior de A yademás s pertenece a A, implica que s es Ínfimo y Mínimo de A.

a) Sea f :    definida por f (n) 

n2  1 del Sup (Im( f )) e Inf (Im( f )) , y demuestre que tu conjetura es correcta.

 1n  n . En caso que exista, conjeture el valor

Solución: Lo primero que debemos analizar son los elementos del conjunto Im( f ) , con 5 elementos es suficiente (para tener una idea del comportamiento dela función). f (1)  0 3 5 1 f (3)  5 1 f ( 4)  3  f ( 2) 
3 . Para demostrar que es el supremo 5 debemos probar que es cota superior de Im( f ) .

Luego, nuestro supremo tentativo es f (2) 

Es decir, que

 1n  n  5 .
n2  1 6

Analizaremos dos casos diferentes (si n es par y si n es impar), pero complementarios. Si n  2i (n es par). i   1  2i 5  4i 2  1 6 6  12i 20i 2  5
0  20i 2  12i  1

(1)

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Partiremos con la ecuación (1) 0  20i 2  12i  1 la que es fácilmente demostrable al aplicar inducción1. Para i = 1.
0  20  12  1 07

Sea cierto, para i = k, que 0  20k 2  12k  1 . Por demostrar, que para i = k+1 se cumple que 0  20k  1  12k  1  1
2

0  20k  1  12k  1  12

0  20 k 2  2 x  1  12k  12  1
2 0  (20  12k1)  (28 ) k      k  8  0 _ por _ hipotesis 0





 0  20i 2  12i  1 6  12i  20i 2  5 1  2i 5  2  4i  1 6
Hemos demostrado que
5 es cota superior de la Im( f ) cuando n es par. 6

Si n  2i -1 (n es impar). i    1  2i  1 5  (2i  1) 2  1 6 2i  2 5  2 4i  4i 6 2i  2 5  2 4i  4i 6 2  i  11 5   4  i  1  i 2i 6

1 5  , esto se cumple para todo número natural. 2i 6

Hemos demostrado que

5 es cota superior cuando n es impar. 6

Esta demostración no es necesaria cuando se analizan polinomios de primer grado, basta con descomponer la desigualdad y ver algo claramente cierto.

1

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Por tanto, hemos demostrado que5 es cota superior y por Preposición 1, 6

5  Sup (Im( f ))  Max(Im( f )) , n   . 6

Ahora debemos encontrar el Inf (Im( f )) . Nuestro Ínfimo tentativo es f (1)  0 . Para demostrar que es el ínfimo debemos probar que es cota inferior de Im( f ) , pues ya sabemos que pertenece al conjunto (ver Preposición 2). Es decir, que 0 

 1n  n .
n2 1
n

Siempre n 2  1  0 , luego0   1  n 2 n   . Por tanto, hemos demostrado que 0 es cota inferior y por Preposición 2, 0  Inf (Im( f ))  Min(Im( f )) , n   .

3n  2 valor del Sup (Im( f )) , y demuestre que tu conjetura es correcta.3

b) Sea f :    definida por

 1n  2n . En caso que exista, conjeture el f ( n) 

Solución: Primero notemos que si n  3 se tiene que 2n  1  3n  2 , por lo tanto 1n  2n  2n  1  1 , n  3. f ( n)  3n  2 3n  2
5 , por lo tanto 4 5 5 5  f (n)n   , esto implica que es cota superior de Im( f ) y como  Im( f ) se 4 4 4 5 .4 tiene que el Sup (Im( f ))  4

Ahora bien, f (1)  1 y f (2) 

Esta desigualdad siempre se cumple, ya que el menor valor que toman los números naturales es el uno. (en ese caso 0  0 ) 3 Sexto Control de Matemática I,ejercicio 1 (otoño 2007). Programa Académico de Bachillerato, Universidad de Chile. 4 Preposición 1.

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Ayudante Ignacio Trujillo Silva b) Sea f :    definida por f (n) 

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2n  1 . En caso que exista, conjeture el valor 3n  2 del Inf (Im( f )) y Sup (Im( f )) , y demuestre que tu conjetura es correcta.

Solución: Encontraremos el Inf (Im( f )) : Lo primero que...