Función variable

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
CONCEPTOS BÁSICOS
Se llama función real de variable real a cualquier aplicación f : D → R con D Œ R, es decir, a
cualquier correspondencia que asocia a cada elemento de D unúnico número real.
Habitualmente, la notación que se usa para representar una función es y = f ( x ) , donde x es la
variable independiente, y la variable dependiente y f la aplicación que indica como se obtiene el
valor de y conocido el valor de x.
Se llama dominio de definición de f al conjunto de números reales x para los cuales existe f(x).
Se denota D(f), o simplemente D. Es decir, D = {x ∈ R| existe f(x)}.
En algunos casos, el dominio de la función no viene dado a priori sino que hay que calcularlo
mediante la definición de f. Además, en los modelos económicos para determinar el dominio no sólo
hay que considerar la existencia matemática de f(x), sino también que tenga sentido en el contexto
económico considerado tanto x como f(x).
Ejemplo 1:
a) f : [2, + ∞ ) → R dada por f (x ) = 4x − 2 es una función real de variable real cuyo dominio es D = [2, + ∞ ).
b) y =

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es una función con D = R - {2} ya que asocia a todo número real distinto de 2 un único elemento de R.
x −2

c) La correspondencia dada por y 2 = x no es una función, ya que a cada número real positivo x no nulo le asocia dos valores
reales distintos, por ejemplo, para x = 4, el valor de la variable y puede ser 2 o-2.
d) El dominio de la función f ( x ) =

x +1
x

es D = (0, + ∞ ) ya que para que exista

x , x debe de ser mayor o igual que 0, y

además como está en el denominador no puede ser 0.
e) El coste C por día de una empresa es función de su producción diaria q según la relación C = 500 + 15q. Si la empresa
tiene una capacidad límite de producir 5000 unidades al día, el dominio de esta función es D ={ q | 0 ≤ q ≤ 5000 }.
Observar que desde el punto de vista matemático, el dominio de esta función sería R, sin embargo por el contexto
económico el dominio se restringe al calculado.

Se llama rango o imagen de f al conjunto de números reales que toma la variable y siendo y =
f(x) y x perteneciente al dominio de f. Se denota Im(f).
Es decir, Im(f) = {y ∈ R | existe x ∈ D con y = f(x)}.
Ejemplo2:
a) Dada f (x ) =

x − 1 , para que exista f(x) se debe cumplir que x - 1 ≥ 0, ya que no existe la raíz cuadrada de números

negativos. Por tanto, se debe cumplir x ≥ 1 y por ello D = [1, + ∞ ).
Además, se verifica que Im(f) = [0, + ∞ ).
b) La función C = 500 + 15q, estudiada en el ejemplo 1 apartado e), cuyo dominio es D = { q | 0 ≤ q ≤ 5000 }, tiene como
imagen Im(f) = { C | 500 ≤ C ≤ 75500 }.
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Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

c) Dada f ( x ) = x5 + x − 3 , al estar definida por un polinomio existe para cualquier número real, luego D = R. Además, se
verifica que Im(f) = R.
d) Dada f (x ) = x2 + 3 , se cumple que su dominio es D = R y su imagen Im(f) = [3, + ∞ ).

Se llama gráfica de f al conjunto de todos los pares de números reales que tienen como primera
componente cualquier valor x del dominio de f y como segunda su imagen f(x). Se denota Gr(f). Es
decir, Gr(f) = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ D, y = f(x)}.
Notar que la gráfica de f es una curva en R2 pero no todas curvas del plano songráficas de
funciones. La gráfica de una función tiene la propiedad de que una recta vertical que pase por
cualquier punto del eje OX la corta a lo sumo una vez, en caso contrario, significaría que un mismo
número tendría más de una imagen por lo que no sería aplicación, y por tanto tampoco función.
Ejemplo 3:
a) La gráfica de la función f (x ) = x 3 − x 2 + 1 es:
y

x

La curva representada a...