Funci n Compuesta

Función Compuesta

Siempre que se tienen dos funciones g y f se puede definir una nueva función de manera que la variable dependiente de g sea a su vez la variable independiente de f. Observa lasiguiente ilustración entre los conjuntos.
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1
 
Si f(x) = 2x2+1   y   g(x) = x -1 entonces
 


( f o g )(1) = f ( g (1) )
 
 


f ( g ( 1 ) ) =  f ( 0 )
 
 
 


        
 
f ( 0 ) =2 ( 0 )2 + 1 = 1
 
Finalmente ( f o g )(1) = 1.
 
Ejemplo 2
 
Si f(x) = 2x2+1   y   g(x) = x -1 entonces
 


( f o g )(x) = f ( g (x) )
 
 


f ( g ( x ) ) =  f ( x-1 )
 
 
 


        
 
f ( x-1 ) =2 ( x-1 )2 + 1
             = 2 ( x2 – 2x + 1) +1
             = 2x2 – 4x + 2 + 1
             = 2x2 – 4x + 2
 
 Finalmente (f o g)(x) = 2x2 – 4x + 2.


Función compuesta
Dadas dos funciones f(x) yg(x), se llama función compuesta de f con g, y escribimos g o f, a aquella función en la que la imagen de un número real x es el resultado de actuar sucesivamente sobre x primero f y después g.

Parahallar la expresión analítica de la función compuesta de dos funciones se aplica el resultado anterior:
 (gof) (x) = f[g(x)].
Ejemplo: Sean las funciones f(x) = 3x - 2 y g(x) = 2x + 5; entonces lafunción compuesta de f con g es (gof)(x) = g[f(x)] = g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5 = 6x - 4 + 5 = 6x + 1. 
En el razonamiento anterior se ha tenido en cuenta que si g(x) = 2x + 5, y por lo tanto,
g(3x - 2) =2(3x - 2) + 5.
Propiedades de la composición
ASOCIATIVA: Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que ho(gof) = (hog)of.
CONMUTATIVA: La composición de funciones en general no esconmutativa, es decir, gof y fog son en general dos funciones distintas.
En el ejemplo anterior (gof)(x) =6x + 1, sin embargo, (fog)(x) = f[g(x)] = f(2x + 5) = 3(2x + 5) - 2 = 6x + 15 - 2 = 6x + 13,luego las funciones gof y fog son distintas.
FUNCIÓN IDENTIDAD: La función i(x) = a que hace corresponder a cada número real con él mismo, al componerla con cualquier función f(x) da de resultado...