funcion cuadratica

INSTITUTO NACIONAL
JOSE MIGUEL CARRERA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
PROF. SILVIA ARAYA

FUNCION CUADRÁTICA
PARTE I
e-mai:s.araya.mat@institutonacional.cl
La ecuación: x2 + b x + c = 0;
0, es una ecuación de segundo grado completa general
escrita en la forma estándar. Mediante el método de completar el cuadrado es posible
transformarla en una expresión del tipo ( x – k )2 + p = 0, esdecir,

a

b
2a

x

2

4ac b2
4a 2

= 0

Esto permite encontrar 2 valores para x que satisfacen la ecuación:

x1 =

b

b2 4ac
2a

y

x2 =

b

b2 4ac
2a

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Llamada también ceros de la función

b

X =

b2 4ac
=
2a

Supondremos que x2

x1

1.
Demostración:

x1

x2

b

x2

b

b 2 4ab
2ab

b 2 4ac b
2a

2b
2a

a
b

b 2 4ab ,
2a

b

, x1

b

b2 4ac
2a

b 2 4ac
2a
b 2 4ac

reduciendo términos semejantes

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2.

3.

=

(demostrar)

Toda expresión simétrica en
S ( suma) y P (producto)

se puede expresar en términos de

Ejemplos:
a)

1
x1

1
x2S
(demostrar )
P

b)

x12

c)

3
3
x1 x2 s2 3 s p

2
x2 s2 2 p, (demostrar )

Demostración:

x1

x2

S /

3

3
2
x1 3 x12 x2 3x1 x2
3
x1

3
x2 3x1 x2

x13

4.

S 3 3 pS

S 3 Desarrollo del cubo
S ´3

Factorizando por 3x1 x2

Si, x1 x2

p

Toda ecuación se segundo grado se puede expresar como:
a)

x 2 S x P = 0 ( demostrar)

b) a x x1
5.3
x2

x1 x2

3
x2

x x2 = 0 (demostrar)

Diferencia de las raíces:

x2

x1

a

, x2

x1 , (demostrar )

x1 x2

S

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6.

Si

Una raíz es n veces la otra:

x2

n 1
n

n x1,

2

b2
a c

Si

x2

b

Demostración:

n x1

b 2 4ac
2a

n

nb n

b 2 4ac nb 2 4ac

b2 4ac 1 n

b2 4ac
b2 1 n

b2

1 n

2

b

b2 1 n

4ac 1 n
2

b 2 4ac

1 n

2

2

2

4ac 1 n

2

aislando las raíces
factorizamos

elevamos al cuadrado

b2 1 n

4ac 1 n

b2 1 2n n2 1 2n n2
4nb2

nb

b1 n /

1 n
2

se amplifica por 2 a

2a

b 2 4ac

b

b 2 4ac

b

2

2

desarrollando
factorizamos por b 2
2

4ac 1 nreduciendo

2

simplificando

b2
ac

1 n
n

2

ordenando

OBSERVACIONES:
1. Una raíz es cero si c = 0
2. Las raíces son opuestas ( Inversas aditivas) si b = 0
3. Las raíces son recíprocas ( Inversas multiplicativas) si a = c

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4. Condición para que dos ecuaciones de segundo grado tengan unaraíz común:

a x2 b x c 0
a1 x 2 b2 x c1 0
a b1 b a1 b c1 c b1

a c1 c a1

2

APLICACIONES:

1)

Resuelva por factorización:
a)

2x2

5 x 12

0

2
b) 4 x 12 x 9 0

c) ( x – 2 )( x + 3) = 6
2
d) 6 t

bt

2b 2

1

R: { 4 , 3 2 }
R:

3 3
2 2

,

3, 4

R:
R:

e)

w2 2 q w p 2 q 2
8 x 2 14ax 3a 2 0

R:

2

g)

x a

h)

ax bx

b2 0
2x ( b a)

R:

2b
3

,

R:

f)

b
2

p q ,
a
4

,

q p

3a
2

b a , b a

R: 0, b 1 a

2) ¿Qué valores de k hacen del trinomio un cuadrado perfecto?
a)

y2 8 y

b) k x
c)
d)

z

2

y

2

2

k

R: 16

kx 4

R: 16

k z 225

R: 30

k y (5 2k )

R: 2, 10

2
3) Escriba cada ecuación en una forma equivalente a q ( x k )

a)

x 2 3x 130

b)

x2 6 x

c)

6 x 2 19 x 8 0

0

2

R: x 2
R: x 3

2

R: 6 x

p

17
9
19 2
12

169
24

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d) 3x 2

5x 2

0

R: 3 x

5 2
6

49
12

4) Resuelva las ecuaciones por el método de completar el cuadrado
a)

x 2 4 x 21 0

b) 4 x 2

x 2

e)

x

bx

1...