Funcion Cuadratica

Función Cuadrática
Una función cuadrática es una función f de la forma f(x) = ax2 + bx + c
Donde a, b y c son números reales con a ≠ 0. Su estructura algebraica es una ecuación de segundo grado
Propiedades de la función cuadrática
1. El grafico de una función cuadrática corresponde a una curva denominada parábola.
2. El coeficiente del término cuadrático, o sea, a indica hacia donde abrela parábola. Si a es positivo(a > 0), la parábola es abierta hacia arriba, y cuando dicho termino es negativo(a < 0), la parábola es abierta hacia abajo.
3. Puntos de intersección de la parábola con el eje de las abcisas
Para obtener los puntos donde la parábola intercepta al eje de la abcisas, se deben determinar las raíces de la ecuación, para ello igualamos f(x) = 0, es decir debemosresolver la ecuación: ax2 + bx + c = 0, la cual es una ecuación cuadrática en x, o ecuación de segundo grado.
Recordemos que la forma de la ecuación cuadrática o resolvente es: x = -b ± b²-4ac 2a
La expresión: b²-4ac sirve para distinguir los tipos de raíces de una ecuación de segundo grado. Por eso se llama discriminante de la ecuación. Observa los tipos de raíces que se obtienendependiendo del valor del discriminante:
a) b²-4ac > 0 La ecuación tiene dos raíces reales diferentes La parábola intercepta al eje de las abcisas en dos puntos que son las raíces
b) b2-4ac = 0 La ecuación tiene dos raíces reales iguales La parábola es tangente a el eje de las abcisas, en el punto indicado por las raíces iguales.
c) b²-4ac < 0 La ecuaciónno tiene raíces reales La parábola no corta el eje de las abcisas, la grafica está completamente por encima o completamente por debajo del eje.
Luego de determinar los tipos de raíces (si lo amerita) que tiene la ecuación, deben hallarse sus raíces. Las mismas se pueden hallar factorizando la ecuación, empleando la fórmula cuadrática o por completación de cuadrado.
4. Laparábola es simétrica con respecto a una recta llamada eje de simetría, el cual es una recta paralela al eje de las ordenadas, se denota con x. El trayecto que describe la curva de un lado del eje se refleja como un espejo del otro lado del eje, muestra de ello es que al doblar el papel por dicho eje, las dos partes de la parábola coinciden perfectamente.
La ecuación del eje de simetría(x) se puedeobtener x = x₁ + x₂ 2 x = -b2a con alguna de las siguientes expresiones:
5. Intersección con el eje de las ordenadas
Para obtener la intersección de la parábola con el eje de las ordenadas, hacemos x = 0 en la ecuación y = ax2 + bx + c, con lo que se obtiene: y = a(0)2 + b(0) + c, con lo que resulta y = c, es decir, la parábola intercepta al eje de lasordenadas en el punto (0,c )
6. Vértice de la parábola
Es un punto del plano(x, y) perteneciente a la parábola donde la curva termina de bajar y empieza a subir, o viceversa (según hacia donde habrá la parábola).
Las coordenadas del vértice de la parábola se obtiene al sustituir los valores a, b y c de la función en la siguiente expresión: Vértice de la parábola [ - b2a ; c - b²4a ]
7.Valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas
Si una función cuadrática tiene por vértice [ - b2a ; c - b²4a ] entonces la función tiene: un valor mínimo en el vértice si abre hacia arriba (a > 0) un valor máximo en el vértice si abre hacia abajo (a < 0)
El valor máximo o mínimo de una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, ocurre en: x = -b2a
Si a > 0,entonces el valor mínimo es f [-b2a]
Si a < 0, entonces el valor máximo es f [-b2a]

Análisis de la Función Cuadrática
Teniendo presente las propiedades antes señaladas se sugiere al realizar el análisis o estudio de la función cuadrática, seguir los siguientes pasos:
1. Determine la orientación de la parábola.
2. Resuelva la ecuación de la función para hallar los posibles puntos...