funcion cubica

Función cúbica[editar]


Gráfico de la función cúbica y = 1/4·(x+4)·(x+1)·(x-2) en el plano cartesiano. Las raíces son los lugares donde la curva cruza el eje x (y = 0), esto es: x1 = -4, x2 = -1 y x3 = 2.
La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

donde el coeficiente a es distinto de 0.
Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estasfunciones pertenecen a los números reales.
La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.
Ecuación cúbica[editar]
La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de losnúmeros complejos.
Discriminante[editar]
Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se puedendistinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante,

Los siguientes casos necesitan ser considerados: [3]
Si Δ > 0, entonces la ecuación tiene tres distintas raíces reales.
Si Δ = 0, entonces la ecuación tiene raíces múltiples y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).
Si Δ < 0, Entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raícescomplejas conjugadas.
El caso real[editar]
Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R. La distinción aparece cuando se calcula el discriminante dela ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante Δ sea mayor, menor o igual a cero. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en +∞ y -∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valoresintermedios.
También es posible resolverla con el método de Newton-Raphson, ya que se sabe que al menos habrá una solución real.
Raíces reales de la ecuación cúbica[editar]
Partiendo de la ecuación canónica

dividiendo entre a y haciendo una transformación de Tschirnhaus (sustituyendo ) se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:

con lo cual,

Se demuestraque el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar .[4] La ecuación cúbica incompleta posee tres raíces reales cuando el discriminante , pero donde y posee cualquier valor y signo. Tales raíces se calculan como
, para
donde el signo positivo se usa si y el signo negativo se usa si . Mientras que está dada por

De modo que si queremos calcular las tres raíces dela ecuación cúbica completa , entonces podemos obtenerlas fácilmente como
, para
Raíces múltiples[editar]
En cualquier ecuación cúbica es posible que se presenten raíces múltiples, es decir, raíces de multiplicidad dos y tres, esto es, que dos o tres de las raíces sean iguales entre sí. Las raíces de multiplicidad unitaria ya fueron descritas antes, ahora la raíz doble se puede presentar si ysólo si se cumple la condición de que

y las raíces de la ecuación cúbica incompleta serán

mientras que las raíces triples se presentan cuando se cumpla la condición de que

con lo que las raíces de la ecuación cúbica completa se calcularán fácilmente como
.
El caso general[editar]
Sea un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la...