Funcion de Dirichilett

Sobre la función de Dirichlet
En la última entrada me preguntaron sobre la función de Dirichlet y creo que es una buena excusa para mencionar unos aspectos de continuidad y de soluciones salvajesa la ecuación funcional de Cauchy.
En , una función es continua en si cada vez que una sucesión   cumpla se cumpla que .  Es decir, si nos acercamos a un punto la función se acerca a la evaluación deese punto.  En general las todas las funciones “bonitas” son continuas, como los polinomios, las funciones trigonométricas (donde están definidas), etc…
Un ejemplo de una función no continua ensería una función que valga fuera del y valga en , bastante tranquilo.
La función de Dirichlet es un ejemplo de una función que no es continua en ningún punto.  si es racional y si es irracional.  Comolos racional y los irracionales son ambos densos, la función no es continua.
Algunas personas la describen como

Ya que si es suficientemente grande y es racional, tenemos al coseno evaluado en unmúltiplo par de , por lo que vale , y el no importa.  Si no, entonces es coseno tiene un valor en ,  por lo que al evaluarlo a tenemos que ese límite es .  La razón por lo que se usa en vez de es paraque el primer límite exista aunque el coseno valga .
No me gusta tanto esa última propiedad porque es un límite doble.  De hecho si se define la función de Dirichlet como en los irracionales y en losracionales de la forma (pensado como una fracción irreducible).  Esta última versión es bastante más noble en dos sentidos.  El primero es que es continua en todos los irracionales pero discontinua entodos los racionales, y esta sí se puede escribir como un sólo límite de funciones continuas.
De cualquier forma, si uno quiere una función discontinua en todos los reales, hay ejemplos mucho máspadres.  Para construir el siguiente se necesita un poco de álgebra lineal, pero nada muy profundo.
Si consideramos a como -espacio vectorial, tiene dimensión infinita.  Entonces podemos considerar...