Funcion De Limites

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADOR
FACULTAD DE INFORMÁTICA Y CIENCIAS APLICADAS
ASIGNATURA: Matemáticas II
SECCION: 01
AULA: FM 407
ACTIVIDAD: Investigación sobre Limite de una Función y Guía de ejercicios resuelta.
DOCENTE: Lic. Luis Roberto Mendoza Aparicio.
ALUMNOS:

CARNET | APELLIDOS | NOMBRES |
15-4399-2011 | Benavides López | Alberto Carlos |18/02/13

Límite de una función
El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.
Historia
Aunqueimplícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnicaépsilon-delta.1 Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manerasistemática.2 La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 18603 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.2
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Definición formal-------------------------------------------------
Funciones de variable real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Si la función  tiene límite  en  podemos decir de manera informal que la función  tiende hacia el límite  cerca de  si se puede hacer que  esté tan cerca como queramos de  haciendo que  esté suficientemente cerca de  siendo  distinto de .
Losconceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo  existe un  tal que para todo número real x en el dominio de la función . |
Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender queel formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe,entonces es posible encontrar tal δ.
No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet  definida como:

donde no existe un número c para el cual exista . Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.
Límites laterales

El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por lo tanto, ellímite cuando x → x0 no existe.
De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha):

o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

Si los dos límites anteriores son iguales:

Entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite,como tal, no existe.
Funciones en espacios métricos
Existe otra manera de definir el límite que tiene que ver con el concepto de bolas y entornos:
Supóngase f : (M, dM) → (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, c es un punto límite de M y L∈N. Se dice que "el límite de f en c es L" y se escribe:

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 <...